Witold Hurewicz (Amsterdam), O odwzorowaniach ciągłych

Rozpatrujemy odwzorowanie jednoznaczne i ciągłe przestrzeni metrycznej i kompaktycznej $R$ o wymiarze $n$ na przestrzeń $R^{\ast }$ o wymiarze $n^{\ast }$:

Oznaczając dla dowolnego punktu $q$ przestrzeni $R^{\ast }$ przez $E_q$ zbiór wszystkich punktów $p$ przestrzeni $R$, których obrazem jest punkt $q$, mamy twierdzenie następujące:

Jeżeli $n^{\ast }>n$, istnieje w $R^{\ast }$ conajmniej jeden punkt $q$, dla którego zbiór $E_q$ zawiera $n^{\ast }-n+1$ różnych punktów.

Jeżeli natomiast $n^{\ast }<n$, to conajmniej jeden zpośród zbiorów $E_q$ posiada wymiar $\ge n-n^{\ast }$.

W szczególnym przypadku $n=0$, zachodzi również twierdzenie odwrotne:

Każda kompaktyczna przestrzeń $m$-wymiarowa ($m$ oznacza dowolną liczbę naturalną) daje się przedstawić jako obraz ciągły i jednoznaczny przestrzeni kompaktycznej $0$-wymiarowej $N$, w ten sposób, że każdy ze zbiorów $E_q$ składa się z conajwyżej $m+1$ punktów. Jako zbiór $N$ można przyjąć zbiór linjowy nigdziegęsty Cantora.