Miron Zarycki (Lwów), Koherencje i adherencje Cantora

(Ponieważ treść tego referatu była drukowana w Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 30, No. 3. p. t.: Allgemeine Eigenschaften der Cantorschen Kohärenzen, podajemy tu tylko wyniki referatu bez dowodów.)

1. Oznaczmy literą $C$ przestrzeń, w której leżą wszystkie rozpatrywane tu zbiory, znak $A^{c}$ niechaj oznacza dopełnienie zbioru $A$ , zaś $A^{k}$ jego koherencję (zbiór punktów skupienia zbioru $A$ należących do $A$ ).

Zbiór $A^{k}$ czyni zadość następującym niezależnym od siebie pewnikom:

\begin{array}{l} I_{k} : A^{k} + B^{k} \subset {(A + B)}^{k}; \\ {II}_{k} : A^{k} \subset A; \\ {III}_{k} : A^{c k c k} = A^{k c k c} . \end{array}

2. Opierając się na tych wzorach można udowodnić następujące ogólne własności pojęcia koherencji:

\begin{array}{l} 1_{k} : Gdy A \subset B, to A^{k} \subset B^{k}, \\ 2_{k} : {(A B)}^{k} \subset A^{k} B^{k}, \\ 3_{k} : 0^{k} = 0, \\ 4_{k} : C^{k} = C, \\ 5_{k} : A^{c k} \subset A^{k c}, \\ 6_{k} : {(A - B)}^{k} \subset A^{k} - B^{k}, \\ 7_{k} : A^{k c k k} = A^{c k c k c k}, \\ 8_{k} : A^{k k c k} = A^{k c k c k c} . \end{array}

3. Gdy na dowolnym zbiorze $A$ wykonywać będziemy dowolną skończoną ilość razy operacje $A^{k}$ i $A^{c}$ w dowolnym porządku, to każdy otrzymany w ten sposób zbiór będzie identyczny z jednym i tylko jednym ze zbiorów zawartych w następujących tablicach (Znak $A \to B$ oznacza to samo co $A \subset B$ .):

\begin{array}{l} \begin{matrix} A & \overset{}{\to} & A^{c k c} & \overset{}{\to} & A^{c k k c} & \overset{}{\to} & A^{c k k k c} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{k} & \overset{}{\to} & A^{c k c k} & \overset{}{\to} & A^{c k k c k} & \overset{}{\to} & A^{c k k k c k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{k k} & \overset{}{\to} & A^{c k c k k} & \overset{}{\to} & A^{c k k c k k} & \overset{}{\to} & A^{c k k k c k k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{k k k} & \overset{}{\to} & A^{c k c k k k} & \overset{}{\to} & A^{c k k c k k k} & \overset{}{\to} & A^{c k k k c k k k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \end{matrix} \\ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \\ \begin{matrix} A^{c} & \overset{}{\to} & A^{k c} & \overset{}{\to} & A^{k k c} & \overset{}{\to} & A^{k k k c} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{c k} & \overset{}{\to} & A^{k c k} & \overset{}{\to} & A^{k k c k} & \overset{}{\to} & A^{k k k c k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{c k k} & \overset{}{\to} & A^{k c k k} & \overset{}{\to} & A^{k k c k k} & \overset{}{\to} & A^{k k k c k k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ A^{c k k k} & \overset{}{\to} & A^{k c k k k} & \overset{}{\to} & A^{k k c k k k} & \overset{}{\to} & A^{k k k c k k k} & \overset{}{\to} & \dots \\ ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \end{matrix} \\ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \end{array}

Wszystkie zbiory zawarte w obu tablicach są w ogólnym wypadku między sobą różne i nie zachodzą między niemi żadne inne związki, prócz podanych w tych tablicach.

4. Oznaczmy przez $A^{a_{n}} = A^{k^{n - 1}} A^{k^{n} c}$ $n$ -tą adherencję zbioru $A$ . $A^{k^{n}}$ oznacza tu $n$ -tą koherencję zbioru $A$ . Pochodną zbioru $A$ oznaczmy przez $A^{d}$ .

Można teraz udowodnić dwa następujące znane twierdzenia:

I. Każdy zbiór $A$ można rozłożyć na następujące części nie posiadające elementów wspólnych (dla dowolnego naturalnego $n$ ):

A = A^{a_{1}} + A^{a_{2}} + \dots + A^{a_{n}} + A^{k^{n}} .

II. Twierdzenie W. H. Younga i L. E. J. Brouwera:

A^{a_{n}} \subset A^{a_{m} d} dla m < n .

5. (Treść tego ustępu nie była ogłoszona we wspomnianej nocie Trans. of Amer. Math. Soc.; znajduje się ona w pracy p. t.: Pochodna i koherencja zbiorów abstrakcyjnych, Rozprawy Tow. Naukowego im. Szewczenki we Lwowie, tom XXVII (w języku ukraińskim).) Koherencja określa się przez pochodną przy pomocy następującego wzoru $A^{k} = A A^{d}$ . Nie można jednak określić w podobny sposób pochodnej przez koherencję, t. zn , że gdy na dowolnym zbiorze $A$ wykonywać będziemy operacje $A^{k}$ i $A^{c}$ i gdy będziemy tworzyć logiczne sumy i iloczyny otrzymanych w ten sposób zbiorów, to w ogólnym wypadku nie otrzymamy takiego zbioru, który byłby identyczny ze zbiorem $A^{d}$ .

Można jednak określić pochodną przez koherencję w następujący sposób:

Punkt $a$ jest elementem pochodnej $A^{d}$ , gdy jest on zawarty w ${A + (a)}^{k}$ .

Zbiór $A$ jest zamknięty, gdy z relacji $a \in {A + (a)}^{k}$ wynika, że: $a \in A$ .

Zbiór $A$ jest w sobie gęsty, gdy z relacji $a \in A$ wynika, że: $a \in {A + (a)}^{k}$ .

Domknięcie $A^{r}$ zbioru $A$ można określić przez koherencję w następujący sposób:

a \in A^{r} gdy: a \in A + {A + (a)}^{k} .