A. F. Andersen (Kopenhaga), Sur la caractérisation des régularités des suites au moyen de leurs diﬀérences

Les recherches dont j’aurai l’honneur de vous parler aujourd’hui s’attachent aux suites convergentes. Nous allons étudier et comparer les diﬀérentes espèces de régularité dont on a fait un usage fréquent dans la théorie des suites (et, bien entendu, dans la théorie des séries) sans qu’on se soit rendu compte ni des ressemblances qu’il y a entre elles, ni des diﬀérences qu’elles présentent. Je pense que, parmi ces diﬀérentes sortes de régularité, l’idée de la monotonie se présente tout d’abord à l’esprit en conséquence de la simplicité de sa caractérisation et de la grande fréquence avec laquelle cette notion a été employée. Mais je ne tarde pas à vous en annoncer d’autres qui ont joué aussi un rôle assez important. La régularité que doit posséder une suite convergente $(𝜀_{ν})$ pour que la série

\sum_{ν = 0}^{\infty} ν^{r} | Δ^{r + 1} 𝜀_{ν} |

soit convergente est à la base de diﬀérents théorèmes de M. M. Bromwich, Hardy et Bohr, et j’ai eu l’occasion de l’utiliser d’une manière assez étendue. Aussi les régularités déterminées par des conditions comme

Δ^{r} 𝜀_{ν} = o (ν^{- r}) et Δ^{r} 𝜀_{ν} = O (ν^{- r})

seront considérées. Ces espèces de régularité sont toutes caratéri- sées au moyen des diﬀérences appartenant à la suite $(𝜀_{ν})$ en question. Il en est de même des autres sortes de régularité que je vais mentionner sous peu. Donc, il conviendra, dès maintenant, de dire quelques mots sur la détermination des diﬀérences d’une suite donnée $(𝜀_{ν})$ .

A toute suite

𝜀_{0}, 𝜀_{1}, 𝜀_{2}, \dots, 𝜀_{ν}, \dots

appartient une suite de diﬀérences de premier ordre

Δ^{1} 𝜀_{0}, Δ^{1} 𝜀_{1}, Δ^{1} 𝜀_{2}, \dots, Δ^{1} 𝜀_{ν}, \dots

où

Δ^{1} 𝜀_{ν} = 𝜀_{ν} - 𝜀_{ν + 1},

et une suite de diﬀérences de second ordre

\begin{array}{l} Δ^{2} 𝜀_{ν} & = Δ^{1} 𝜀_{ν} - Δ^{1} 𝜀_{ν + 1} \\ = 𝜀_{ν} - 2 𝜀_{ν + 1} + 𝜀_{ν + 2} (ν = 0, 1, 2, \dots); \end{array}

en continuant de cette façon on obtiendra une suite de diﬀérences d’ordre $r$ pour toute valeur entière et positive de $r$ , déterminée par

\begin{array}{l} Δ^{r} 𝜀_{ν} & = Δ^{r - 1} 𝜀_{ν} - Δ^{r - 1} 𝜀_{ν + 1} \\ = \sum_{p = 0}^{r} {(- 1)}^{p} (\binom{r}{p}) 𝜀_{ν + p} . \end{array}

J’écrirai

Δ^{r} 𝜀_{ν} = \sum_{p = 0}^{r} A_{p}^{- r - 1} 𝜀_{ν + p}

en introduisant la notation

\begin{array}{l} (\binom{n + ρ}{ρ}) & = \frac{(n + ρ) (n + ρ - 1) \dots (ρ + 1)}{1.2.3 \dots n} \\ = A_{n}^{ρ} \end{array}

aﬁn qu’on soit avisé par la notation même de l’ordre de grandeur ( $n^{ρ}$ pour $n \to \infty$ ) des coeﬃcients binomiaux en question.

Cependant, nous ne pouvons pas nous contenter des diﬀérences ordinaires d’ordres entiers et positifs; cet outil n’est pas assez souple. Aﬁn de pouvoir bien distinguer les diﬀérentes régularités les unes des autres, il nous faut une notion de diﬀérence beaucoup plus adaptée à la tâche: celle des diﬀérences d’ordre quelconque. J’adopterai ici la même déﬁnition que j’ai employée, il y a quelques années, dans ma Thèse (Studier oyer Cesàro’s Summabilitetsmetode, Copenhague 1921.), et qu’ont utilisée depuis M. M. Knopp, Kaluza et Ferrar dans leurs récents travaux sur les suites monotones d’ordre quelconque. Je pose pour tout nombre réel $r$

Δ^{r} 𝜀_{ν} = \sum_{p = 0}^{\infty} A_{p}^{- r - 1} 𝜀_{ν + p}

et $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ se trouve ainsi déﬁnie pour chaque valeur de r qui rend cette série convergente. Comme $𝜀_{p}$ tend vers zéro lorsque p tend vers l’inﬁni, cette série sera sûrement convergente pour toute valeur positive de $r$ , l’ordre de grandeur des coeﬃcients étant celui de $p^{- r - 1}$ . Si. dans cette expression, nous faisons $r$ égal à un entier positif, tous les coeﬃcients $A_{p}^{- r - 1}$ s’annulent à partir de l’indice $p = r + 1$ ; par conséquent, la série se réduit à l’expression ordinaire pour $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ .

Cette généralisation est donc assez naturelle quant à la forme. Mais, elle ne servirait à rien si les diﬀérences qu’elle crée, ne satisfaisaient pas à l’équation caractéristique de cette opération, savoir

Δ^{r} (Δ^{ρ} 𝜀_{ν}) = Δ^{r + ρ} 𝜀_{ν} .

On a beau attacher à ces quantités le nom de diﬀérence, elles ne le méritent point si elles ne jouissent pas de la propriété exprimée par cette équation. De même qu’il n’y aurait aucune raison pour appeler fonction exponentielle une fonction ne satisfaisant pas à l’équation fonctionelle

f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2}) .

Eh bien, cette condition est remplie, au moins jusqu’à un certain point. J’ai démontré que l’égalité

Δ^{r} (Δ^{ρ} 𝜀_{ν}) = Δ^{r + ρ} 𝜀_{ν}

est assurée pour toute suite convergente $(𝜀_{ν})$ , pourvu que

r \geq - 1, ρ \geq 0 et r + ρ \geq 0 .

Il y a donc une limitation, mais cette limitation est due particulièrement à l’exigence de la convergence des séries en question. Il est très probable que cette région de validité s’étendrait si l’on admettait la déﬁnition de $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ à l’aide d’un procédé de sommation plus puissant (par exemple la méthode de Cesàro qui, en cette matière, est certainement la plus appropriée). Et il nous reste encore d’autres moyens; dans le cas où la série $\sum A_{p}^{- r - 1} 𝜀_{ν + p}$ ne converge pas, on pourrait obtenir une détermination des quantités $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ en résolvant un système d’équations de diﬀérences, mais je n’insisterai pas sur ce point. En eﬀet, ces considérations ne sont pour rien dans les recherches qui nous occuperont ici, et je ne tarde pas à les abandonner. La déﬁnition que j’ai énoncée au début, déterminant les diﬀérences $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ à l’aide des séries convergentes, suﬃt complètement à nos besoins actuels.

Revenons donc à notre problème. Je rappelle que nous ne considérerons que des suites convergentes; et nous pourrons même supposer que leur limite est toujours égale à zéro. Cela ne restreint nullement nos résultats, les diﬀérences utilisées étant toutes d’ordre positif et, pour cette raison, invariables par l’augmentation des termes ev d’une même constante.

Nous allons considérer les régularités imposées par les conditions respectives que voici:

Premier groupe:

1): $Δ^{r} 𝜀_{ν} = o (ν^{- r})$
2): $Δ^{r} 𝜀_{ν} = O (ν^{- r})$
3): $Δ^{r} 𝜀_{ν} > - c {(ν + 1)}^{- r}$ pour tout $ν, c > 0$ .

Second groupe:
La série $\sum_{ν = 0}^{\infty} A_{ν}^{r} Δ^{r + 1} 𝜀_{ν}$ est

4): absolument convergente
5): convergente
6): bornée
7): bornée supérieurement.

Troisième groupe:

8): La monotonie d’ordre $r$ : $Δ^{r} 𝜀_{ν} > 0$ pour tout $ν$ .

Dans toutes ces conditions $r$ représente un nombre positif quelconque.

Il est évident que les régularités du premier groupe peuvent être comparées entre elles, quel que soit le caractère de ces régularités. La première régularité est plus puissante que la deuxième, et celle-ci est encore plus puissante que la troisième. Cette application du mot „puissant” se comprend presque sans explication. Je veux dire qu’il existe des suites qui possèdent la deuxième régularité sans en posséder la première, tandis que l’inverse n’aura pas lieu; en d’autres termes, l’ensemble des suites $(𝜀_{ν})$ satisfaisant à la première condition est renfermé dans l’ensemble dont les suites jouissent de la deuxième propriété. Dans ce sens du mot nous pouvons de même comparer les régularités du second groupe et les ranger selon leur puissance; on voit immédiatement que la régularité s’aﬀaiblit dans la succession 4), 5), 6), 7). – Mais les trois groupes de régularité, peuvent-ils être comparés entre eux? Voici le problème. La réponse dépend d’un examen minutieux du caractère des diﬀérentes sortes de régularités.

Dans la premier cas, on trouve que la régularité est telle qu’on a

Δ^{ρ} 𝜀_{ν} = o (ν^{- ρ}) pour 0 < ρ \leq r,

c’est-à-dire que l’opération $Δ^{ρ}$ , appliquée à la suite $(𝜀_{ν})$ , aura pour eﬀet une diminution de l’ordre de grandeur, et précisément celle eﬀectuée par le facteur $ν^{- ρ}$ . Cette régularité est d’autant plus puissante que la valeur de r est plus grande. Tant qu’on veut caractériser la régularité d’une suite au moyen de l’allure de ses diﬀérences pour $ν$ tendant vers l’inﬁni, on ne peut pas imaginer régularité meilleure que celle-ci pour $r$ inﬁni. Des exemples en sont fournis par des suites comme

𝜀_{ν} = \frac{1}{ν}, 𝜀_{ν} = \frac{1}{log ν}, 𝜀_{ν} = A_{ν}^{- δ} (δ > 0),

bref: par tout ce qu’il y a de plus régulier en matière de suites convergentes. J’ai besoin d’un mot susceptible de signiﬁer cette régularité importante. Est-ce trop de faire usage du mot „parfait”? Je me permettrai de le faire. Donc, nous allons appeler parfaitement régulière d’ordre $r$ toute suite convergente $(𝜀_{ν})$ satisfait aux conditions

Δ^{ρ} 𝜀_{ν} = o (ν^{- ρ}) pour 0 < ρ \leq r .

Dans cette caractérisation, il se cache une question d’uniformité: peut-on appliquer le même o dans l’intervalle entier $0 < ρ \leq r$ ? La réponse est aﬃrmative: une suite ne peut pas être parfaitement régulière d’ordre $r$ sans l’être d’une façon uniforme.

Nous allons maintenant nous tourner vers les deux autres conditions du premier groupe. Elles déterminent, elles aussi, des régularités parfaites, mais pas du même ordre. Toute suite satisfaisant à la condition 2), $Δ^{r} 𝜀_{ν} = O (ν^{- r})$ , sera parfaitement régulière jusqu’à l’ordre $r$ , c’est-à-dire qu’on aura

Δ^{ρ} 𝜀_{ν} = o (ν^{- ρ})

pour toute valeur de ç entre zéro et $r$ . Cette régularité sera uniforme dans tout intervalle $0 < ρ \leq σ$ , où $σ < r$ , la suite étant parfaitement régulière d’ordre $r$ pour toute valeur de $σ$ plus petite que $r$ . C’est évidemment tout à quoi on pouvait s’attendre.

Enﬁn toute suite $(𝜀_{ν})$ assujettie à la condition 3) sera parfaitement régulière d’ordre $r - 1$ , pourvu que r soit plus grand que l’unité. Cette régularité parfaite constitue la partie essentielle de la régularité 3), mais il y en a d’avantage. Il est évident que la régularité en question est plus puissante que la régularité parfaite d’ordre $r - 1$ . Toutefois, le caractère de ce surplus de régularité n’est pas assez simple pour qu’on puisse le décrire d’une façon nette. Il faut qu’on se contente de certaines limitations des diﬀérences $Δ^{ρ} 𝜀_{ν}$ , dont l’ordre appartient à l’intervalle de $r - 1$ à $r$ ( $r$ compris). J’ai obtenu les limitations que voici:

\begin{array}{l} Δ^{ρ} 𝜀_{ν} & = o (ν^{- r + 1}) \\ Δ^{ρ} 𝜀_{ν} & > - C {(ν + 1)}^{- ρ} \end{array}

où la constante $C$ ne dépend pas de $ρ$ . La première relation fournit une limitation des deux côtés, mais pour ce qui est du côté inférieur, elle n’est pas aussi bonne, que celle de la dernière relation. Si $r$ ne dépasse pas l’unité il n’y a aucune régularité parfaite, et ces deux relations seront remplacées par

\begin{matrix} \begin{aligned} Δ^{ρ} 𝜀_{ν} & = o (1) \\ Δ^{ρ} 𝜀_{ν} & > - C {(ν + 1)}^{- ρ}, 0 < ρ \leq r \end{aligned} \end{matrix}

dont la première relatiou est tout à fait triviale puisque valable pour toute suite convergente.

Nous sommes maintenant arrivés au second groupe. Heureusement nous pourrons en ﬁnir très rapidement. Je ne dis pas trop, si j’aﬃrme qu’il y a une relation étroite entre ces deux groupes. En eﬀet, les régularités appartenant à l’un et à Vautre sont complètement équivalentes deux à deux, les combinaisons étant 1)–5), 2)–6) et 3)–7). Cela veut dire que les conditions 5), 6) et 7) constituent respectivement une caractérisation complète des trois régularités du premier groupe. Par exemple: La condition nécessaire et suﬃsante pour que la suite convergente $(𝜀_{ν})$ soit parfaitement régulière d’ordre r, est que la série

\sum_{ν = 0}^{\infty} A_{ν}^{r} Δ^{r + 1} 𝜀_{ν}

soit convergente.

Une première conséquence est que nous sommes maintenant à même de comparer, en matière de puissance, la régularité 4) déterminée par la convergence absolue de la série:

\sum A_{ν}^{r} Δ^{r + 1} 𝜀_{ν}

avec les régularités du premier groupe. Elle est incontestablement la plus puissante de toutes les régularités considérées jusqu’à maintenant. Elle détermine une régularité parfaite d’ordre r en raison de la convergence simple, et quelque chose de plus qui tient à ce que la convergence est absolue. De ce surplus de régularité je ne sais pas dire grand chose; cependant, il y a une petite circonstance que je ne dois pas passer sous silence, puisqu’elle nous sera utile dans la suite: si $r$ ne dépasse pas l’unité, nous pouvons aﬃrmer que la convergence absolue de la série $\sum A_{ν}^{r} Δ^{r + 1} 𝜀_{ν}$ , n’assurera pas seulement la régularité parfaite d’ordre r de la suite $(𝜀_{ν})$ , mais qu’elle entraînera encore la régularité parfaite de la suite se composant des modules des termes $𝜀_{ν}$ . Dans ce cas-là l’on pourrait donc parler d’une régularité absolue d’ordre $r$ .

Considérons enﬁn la monotonie d’ordre $r$ ( $Δ^{r} 𝜀_{ν} > 0$ ). Dans un mémoire inséré dans la „Mathematische Zeitschrift”, 1925, M. Knopp a étudié cette régularité sous certains aspects. Il a comparé entre elles les monotonies d’ordres diﬀérents, en démontrant que la puissance va en croissant avec l’ordre r; une suite monotone d’ordre r est aussi monotone de tout ordre plus petit que $r$ . C’est ainsi que M. Knopp peut parler d’un indice de monotonie; la borne supérieure des nombres $r$ pour lesquels les diﬀérences $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ restent positives. La monotonie ordinaire est d’ordre 1. Les monotonies d’ordres inférieures à 1 sont plus faibles que la monotonie ordinaire.

J’ai placé la monotonie dans un groupe particulier en raison du grand intérêt qui s’y attache, bien qu’elle ne constitue pas une nouvelle espèce de régularité. En eﬀet, la monotonie d’ordre $r$ est très voisine à la régularité 3) déterminée par

Δ^{r} 𝜀_{ν} > - c {(ν + 1)}^{- r} (ν = 0, 1, 2, \dots);

elle est évidemment un peu plus puissante que celle-ci, vu que la diﬀérence $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ est forcement supérieure à $- c {(ν + 1)}^{- r}$ lorsqu’elle est positive, tandis qu’il ne faut pas que l’inverse ait lieu. Donc, toutes les propriétés de cette régularité appartiennent aussi à la monotonie d’ordre $r$ . A cet égard, il faut surtout remarquer que toute suite monotone d’ordre $r$ sera parfaitement régulière d’ordre $r - 1$ , pourvu que $r > 1$ . Ce résultat est aussi dû à M. Knopp. J’ajouterai que c’est-là le meilleur résultat possible en ce sens. Il existe une suite monotone d’ordre r qui n’est pas parfaitement régulière d’ordre $r - 1 + δ$ , si petit que le nombre positif $δ$ soit choisi.

Pourtant, outre la régularité parfaite d’ordre $r - 1$ la monotonie d’ordre $r > 1$ renferme un petit surplus de régularité, dont je ne sais pas grand chose, il est vrai, mais toujours assez pour assigner à la monotonie d’ordre r la place qui lui convient parmi les régularités voisines. En rappellant la nouvelle caractérisation de la régularité parfaite nous obtiendrons la succession suivante:

A.: La monotonie d’ordre $r$
caractérisée par la convergence de la série à termes positifs $\sum A_{ν}^{r - 1} Δ^{r} 𝜀_{ν}$
B.: La régularité absolue d’ordre $r - 1$
caractérisée par la convergence de la série $\sum A_{ν}^{r - 1} | Δ^{r} 𝜀_{ν} |$ ,
C.: La régularité parfaite d’ordre $r - 1$
caractérisée par la convergence de la série $\sum A_{ν}^{r - 1} Δ^{r} 𝜀_{ν}$ .

Il est évident que la puissance ne peut pas s’augmenter dans cette succession; qu’en réalité elle va en décroissant, c’est ce que montrent facilement des exemples choisis à propos.

Après la monotonie d’ordre supérieur à 1 nous allons considérer la monotonie, dont l’ordre est plus petit que l’unité; elle est surtout susceptible d’attirer l’attention, puisqu’elle est plus faible que la monotonie ordinaire (d’ordre 1). Elle a été étudiée par M. M. Kaluza et Ferrar dans de récents travaux également parus, il y a quelques mois seulement, dans la „Mathematische Zeitschrift”. Toutefois leur point de vue est tout diﬀérent du nôtre. Dans le cas de cette faible monotonie il ne reste plus de régularité parfaite, autant que je sache. Il y a donc lieu de se demander si, pour le moins, la convergence de la série

\sum A_{ν}^{r - 1} Δ^{r} 𝜀_{ν}

ne subsisterait pas. Certes, elle subsistera. Mais c’est-là un fait trivial, puisque la convergence de cette série aura lieu pour toute suite convergente ainsi que le fait voir le théorème fondamental, cité au début, sur la superposition des diﬀérences. En eﬀet, la série représente la diﬀérence superposée

Δ^{- r} (Δ^{r} 𝜀_{0}) = 𝜀_{0} .

Si, toutefois, on veut persister dans l’idée que la convergence de cette série est en quelque sorte liée à la monotonie d’ordre r, il faut, pour un moment, enlever la condition que la suite soit convergente. Peut-être la convergence est-elle une régularité assez forte par rapport à cette faible monotonie pour vous empêcher de percevoir l’eﬀet de la monotonie. Remplaçons donc la convergence de la suite par la relation $𝜀_{ν} = O (1)$ ou, plus généralement encore, par la relation $𝜀_{ν} > - C$ . Ces conditions n’entraîneront point la convergence de la série $\sum A_{ν}^{r - 1} Δ^{r} 𝜀_{ν}$ pour $0 < r \leq 1$ . Pourtant, il se trouve que la convergence de cette série sera bien assurée, si l’on impose à la suite $(𝜀_{ν})$ la condition ultérieure d’être monotone d’ordre $r (\leq 1)$ . Donc, ce n’est pas trop de dire que la convergence de cette série est en quelque sorte une propriété de la monotonie.

Mon dessein est maintenant accompli. J’ai essayé de vous esquisser la partie la plus marquée de quelques recherches faites sur la comparaison des régularités des suites convergentes, et je vais terminer. Cependant, je voudrais bien – si vous le permettez – vous indiquer quelques petites applications que j’estime susceptibles de vous donner une idée de l’utilité de recherches de cette sorte. Alors il nous faudra porter notre pensée vers des séries régulières. Il ne s’agit évidemment que d’une transformation assez futile; parler d’une série c’est parler d’une suite. Pourtant, cette fois, nous n’allons pas mettre en jeu les sommes partielles Sv. Il conviendra plus d’employer la suite se composant des restes de la série. Etant donnée une série convergente $\sum U_{ν}$ , nous allons donc considérer la suite convergente

𝜀_{ν} = u_{ν} + u_{ν + 1} + \dots,

dont les premières diﬀérences coïncident avec les termes de la série. En employant cette suite $(𝜀_{ν})$ au lieu des sommes partielles $S_{ν}$ on obtiendra d’ailleurs la complète coïncidence des diﬀérences $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ et des diﬀérences $Δ^{r - 1} u_{ν}$ pour toute valeur positive de $r$ :

Δ^{r} 𝜀_{ν} = Δ^{r - 1} u_{ν} .

En convenant de dire que la régularité d’une série est celle de la suite des restes $(𝜀_{ν})$ , la caractérisation de la régularité de la série $\sum u_{ν}$ se réalise d’abord au moyen des diﬀérences $Δ^{r} 𝜀_{ν}$ , mais en tenant compte de l’égalité que je viens de faire remarquer, elle peut aussi bien s’exprimer au moyen des diﬀérences $Δ^{r - 1} u_{ν}$ . Nous énumérerons quelques exemples qui, au foud, ne sont qu’une transcription des exemples $A$ , $B$ et $C$ que je viens de citer:

A.: Les sériés $\sum u_{ν}$ , monotone d’ordre $r + 1$ , $r$ étant un nombre positif sont les mêmes que celles dont les termes forment une suite monotone d’ordre $r$ . Elles sont caractérisées par la convergence de la série à termes positifs: $\sum A_{ν}^{r} Δ^{r + 1} 𝜀_{ν} = \sum A_{ν}^{r} Δ^{r} u_{ν} .$
B.: Les séries absolument régulières d’ordre $r$ se caractérisent par la convergence de la série $\sum A_{ν}^{r} | Δ^{r} u_{ν} | .$
C.: Les séries parfaitement régulières d’ordre $r$ se caractérisent par la convergence de la série $\sum A_{ν}^{r} Δ^{r} u_{ν}$
ou bien par la relation $Δ^{r - 1} u_{ν} = o (ν^{- r})$ .

Ces régularités sont évidemment rangées selon leur puissance, celle-ci s’aﬀaiblissant légèrement dans cette succession.

C’est un fait élémentaire qu’une série $\sum u_{ν}$ , dont les termes forment une suite monotone d’ordre 1, est tellement régulière qu’on a $u_{ν} = o (ν^{- 1})$ . Mais on n’a jamais essayé, autant que je sache, de substituer, dans cette proposition, à la monotonie une régularité plus faible. C’est ce que nous pouvons faire maintenant. Nous pouvons même déterminer la régularité qu’il faut imposer à la série pour que la relation $u_{ν} = o (ν^{- 1})$ ait lieu. La série doit être parfaitement régulière d’ordre 1, ainsi qu’il ressort de C. La condition nécessaire et suﬃsante en est que la série

\sum (ν + 1) Δ u_{ν}

soit convergente.

M. Knopp a démontré, dans le mémoire cité, que toute série convergente, dont les termes forment une suite monotone d’ordre $r$ , $r$ étant inférieur à 1, est assez régulière pour qu’on ait

u_{ν} = o (ν^{- r}) .

Or, cette propriété n’est, nonplus, bien propre aux séries monotones. En eﬀet, les séries qui sont absolument régulières d’ordre $r$ en jouissent également, et cette régularité est plus faible que l’autre. La cause en est que toute série absolument régulière d’ordre $r$ sera telle que la série $\sum | u_{ν} |$ sera, à son tour, convergente et parfaitement régulière d’ordre $r$ . Car cela veut dire que

Δ^{r - 1} | u_{ν} | = o (ν^{- r})

et comme les termes de la série

Δ^{r - 1} | u_{ν} | = \sum_{p = 0}^{\infty} A_{p}^{- r} | u_{ν + p} |

sont tous positifs, il faut que le premier soit plus petit que la somme de la série, et c’est-à-dire que

u_{ν} = o (ν^{- r}) .