M. Jacob (Wiedeń), O uogólnionych całkach Fouriera i o jednoznaczności uogólnionych całek trygonometrycznych

Punktem wyjścia następujących rozważań jest wspólna deﬁnicja szeregów i całek Fouriera, którą się uzyskuje przez zastosowanie pojęcia całki Stieltjesa. Z tego wynika możliwość jednolitego traktowania kilku ważnych zagadnień z teorji szeregów i całek trygonometrycznych.

Niechaj będzie $f (ξ)$ funkcją mierzalną w $[- \infty, \infty]$ , całkowalną w każdym skończonym zakresie, która ponadto w nieskończoności spełnia następujące warunki: $1^{\circ}$ ) $| \frac{f (ξ)}{ξ} |$ posiada całkę w nieskończoności, $2^{\circ}$ ) $f (ξ)$ jest w nieskończoności funkcją perjodyczną.

Tworząc według p. H. Hahna (Acta Mathem. 49):

\begin{matrix} \begin{aligned} Φ (μ) & = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (ξ) \frac{sin μ ξ}{ξ} d ξ \\ Ψ (μ) & = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} f (ξ) \frac{1 - cos μ ξ}{ξ} - \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{- 1} f (ξ) \frac{cos μ ξ}{ξ} d ξ \\ - \frac{1}{π} \int_{1}^{\infty} f (ξ) \frac{cos μ ξ}{ξ} d ξ \end{aligned} \end{matrix}

(1)

można podporządkować funkcji $f (ξ)$ następujące wyrażenie:

f (x) \sim \int_{0}^{\infty} [cos μ x d Φ (μ) + sin μ x d Ψ (μ)] .

(2)

To podporządkowanie redukuje się: a) do szeregu Fouriera, jeśli $f (ξ)$ jest funkcją czysto perjodyczną i b) do całki Fouriera, jeśli $f (ξ)$ czyni zadość w nieskończoności warunkom ściślej określonym.

Zajmujemy się dwoma zagadnieniami tej teorji:

I): Relacja (1) umożliwia nam przedstawić formułę Parsevala w takiej formie, że klasa funkcji, dla której twierdzenie to jest znanem, zostaje znacznie rozszerzoną.
II): Jesteśmy również w stanie udowodnić twierdzenie o jednoznaczności dla uogólnionych całek trygonometrycznych, przyczem dowód tego twierdzenia polega na uogólnieniu kilku twierdzeń p. J. C. Burkilla, dotyczących również uogólnionych całek Fouriera (Proc. Lond. Math. Soc. (2) 25.).