Stefan Kaczmarz (Lwów), Warunki zbieżności szeregów ortogonalnych

W komunikacie niniejszym mam zamiar podać pewien warunek zbieżności szeregu ortogonalnego anφn(x), gdzie an2 < , warunek odmiennego typu, niż znane dotychczas warunki. Dotychczasowe bowiem założenia o szeregu ortogonalnym odnosiły się do własności spółczynników an, nasuwa się zatem problem przy jakich założeniach odnoszących się do samego układu ortogonalnego szereg będzie zbieżny prawie wszędzie. Założenia te tyczą się funkcji Lebesgue’a dla danego układu, to znaczy

ρn(x) =01| 1nφ k(x)φk(t)|dt.

O funkcji powyższej udowodnił Rademacher, iż prawie wszędzie

ρn2(x) = O(nlog3+𝜀n),𝜀 > 0.

Otóż łatwo jest wykazać następujące

Twierdzenie. Dla funkcji ρn(x) mamy prawie wszędzie

ρn2(x) = o(nlog1+𝜀n).

Na podstawie bowiem nierówności Schwarza mamy

ρn2 1nφ k2(x).

Z drugiej strony szereg

1 nlog1+𝜀nφn2(x)

jest prawie wszędzie zbieżny, zatem wedle Kroneckera

1nφ k2(x) = o(nlog1+𝜀n).

Jeżeli teraz założymy, że funkcja Lebesgue’a jest prawie wszędzie ograniczona bez względu na wówczas mamy

Twierdzenie. Jeżeli prawie wszędzie

ρn(x) < 1

wtedy szereg ortogonalny

anφn(x)

jest prawie wszędzie zbieżny, jeżeli tylko an2 < .