Stefan Kempisty (Wilno), O całkach funkcji przedziału

(Komunikat ten został wygłoszony na Zjeździe zamiast komunikatu C 25 p. t. Całka aproksymatywna.)

Considérons les intervalles à $k$ dimensions, c’est-à-dire les ensembles de points dont les projections sont des intervalles linéaires.

Soit $g\left(I\right)$ une fonction d’intervalle (additive ou non additive) définie pour tous les intervalles contenus dans un intervalle $R$.

Lorsque $\mathcal{S}$ est un système simple, composé d’un nombre fini d’intervalles non empiétants $I_1,I_2,\dots ,I_n$, nous poserons

En particulier la longueur du système $\mathcal{S}$

$\left|I_i\right|$étant la longueur de l’intervalle $I_i$.

Une fonction d’intervalle $g\left(I\right)$ est absolument continue quand $g\left(\mathcal{S}\right)$ tend vers zéro avec la longueur de $\mathcal{S}$.

Quand $\mathcal{S}|=|R|$, le système $\mathcal{S}$ est un système de division de l’intervalle $R$.

D’après M. Burkill, l’intégrale supérieure (inférieure) de $g\left(I\right)$ dans $R$ est la plus grande limite de $g\left(\mathcal{S}\right)$, la norme du système de division $\mathcal{S}$ tendant vers zéro (J. C. Burkill, Functions of intervais, Proc. Lond. Math. Soe. v. 22 (1923) p. 295. La norme, du système $\mathcal{S}$ est la plus grande de dimensions des intervalles $I_i$.).

Si les deux intégrales extrêmes

sont égales, la fonction d’intervalle $g\left(I\right)$ est integrable et la valeur commune de ces intégrales est l’intégrale

Lorsqu’une fonction d’intervalle $g\left(I\right)$ est absolument continue dans $R$, les intégrales extrêmes sont finies dans $R$ et dans tout intervalle contenu dans $R$ (loc. cit. p. 287 Th. 3.6.). De plus, ces intégrales sont des fonctions d’intervalle absolument continues dans $R$. (S. Saks. Sur les fonctions d’intervalles, Fundamenta Math. X (1927) p. 213, Th. 2.)

En particulier, quand $g\left(I\right)$ est integrable et absolument continu, son intégrale est finie et absolument continue (Burkill, loc. cit., p. 289, Th. 4.).

Nous allons voir que la continuité absolue de $g\left(I\right)$ est non seulement suffisante mais nécessaire pour que son intégrale soit finie et absolument continue.

Supposons, en effet, qu’il existe un $𝜀$ positif, tel que, $\delta$ étant quelconque, on a, pour un système ${\mathcal{S}}_1$ de norme inférieure à $\delta$, la relation

Choisissons $\delta$ de manière qu’on ait, pour un système $\mathcal{S}$ qui divise $R$,

dès que la norme de $\mathcal{S}$ est inférieure à $\delta$.

Soit ${\mathcal{S}}_2$ un système de division du complémentaire des intervalles du système ${\mathcal{S}}_1$. Nous pouvons choisir ${\mathcal{S}}_2$ de norme $<\delta$ et tel que

Comme l’intégrale est une fonction additive d’intervalle, nous avons, d’après (1) et (3)

En posant $\mathcal{S}={\mathcal{S}}_1+{\mathcal{S}}_2$, nous arrivons à la contradiction entre (2) et (4).

D’après l’hypothèse, quel que soit $𝜀>0$, il existe positif tel que

Soit ${\delta }_2$ un nombre bornant les normes des systèmes $\mathcal{S}$ pour lesquels on a d’après le lemme démontré

Lorsque $\delta <{\delta }_1,{\delta }_2$, nous avons alors $\left|g\left(\mathcal{S}\right)\right|<2𝜀$, quel que soit le système simple $\mathcal{S}$ de longueur $<\delta$, c’est-à-dire $g\left(I\right)$ est absolument continue.

Application. Soit $f\left(x\right)$ une fonction mesurable, presque partout finie dans l’intervalle $\left(a,b\right)$. Convenons de dire que $m\left(f,I,\lambda \right)$ est la borne inférieure à densité $\lambda$ près d’une fonction $f\left(x\right)$ dans $I$, lorsqu’elle est égale au plus grand de nombres $y$ tels que, $E$ étant l’ensemble de points $x$ où $f\left(x\right)<y$, on a

(St. Kempisty, Sur les limites approximatives, Comptes Rendus, t. 180, p. 642. $\left|EI\right|$ est la mesure de la partie de l’ensemble $E$ contenue dans $1$.)

Posons

D’aprés les théorèmes généraux, cette fonction est absolument continue dans $\left(a,b\right)$ en même temps que son intégrale ${\int \; <!--nolimits-->}_{R}g\left(I\right)$, pour $R=\left(a,x\right)$ et $a\le x\le b$. Celle-ci est alors une intégrale de Lebesgue. Nous verrons qu’elle est égale exactement à l’intégrale

En effet, il résulte d’un théorème de M. Burkill (loc. cit. 309, Th. 7.6.) que, $g\left(I\right)$ étant absolument continue,

où $\underline{Dg}$ et $\overline{Dg}$ désignent resp. la dérivée inférieure et supérieure de $g\left(I\right)$ au point $x$, c’est-à-dire la limite inférieure resp. supérieure du quotient $\frac{g\left(I\right)}{\left|I\right|}$, $I$ tendant régulièrement vers le point $x$.

Comme, d’après M. Denjoy (A. Denjoy, Sur les fonctions dérivées soimnables, Bull. Soc. Math, de France t. 43 (1915) p. 219.), toute fonction mesurable est presque partout approximativement continue, le quotient $\frac{g\left(I\right)}{\left|I\right|}$, qui est égal à $m\left(f,I,\lambda \right)$, tend presque partout vers $f\left(x\right)$. Alors on a presque partout

et par suite

Inversement lorsque $f\left(x\right)$ est sommable, notre fonction d’intervalle $g\left(I\right)$ est absolument continue. Supposons d’abord que $f\left(x\right)$ est non négative, alors

Il en résulte que $g\left(I\right)$ est absolument continue. La démonstration est analogue pour $f\le 0$.

Quand $f\left(x\right)$ est une fonction quelconque, nous pouvons la représenter par une somme de deux fonctions

Or,

donc le théorème subsiste.

Ainsi la continuité absolue de $m\left(f,I,\lambda \right)\left|I\right|$ est une condition nécessaire et suffisante de la sommabilité de $f\left(x\right)$.

Nous avons vu que

On peut montrer qu’inversement l’intégrale de $m\left(f,I,\lambda \right)\left|I\right|$, dont la valeur est indépendante de $\lambda$, est l’intégrale de Lebesgue de $f\left(x\right)$ (St. Kempisty, Sur l’intégrale $\left(A\right)$ de M. Denjoy, Comptes Rendus 185 (1927) p. 749.).