Stefan Kempisty (Wilno), O pochodnych funkcji przedziału

(Komunikat powyzszy został wygłoszony na Zjeździe zamiast komunikatu C. 26. p. t. Całkowanie pochodnej regularnej.)

(Sur les dérivées d’une fonction d’intervalle)

Soit $g (I)$ une fonction d’intervalle déﬁnie pour tout intervalle contenu dans $(a, b)$ .

Considérons une famille régulière composée de tous les intervalles $I$ qui veriﬁent la condition

| I | \geq α | S_{x} |, pour 0 < α < 1,

$S_{x}$ étant le plus petit intervalle de centre $x$ contenant $I$ . ( $| I |$ désigne la longeur de l’intervalle $I$ .)

Appelions dérivée de paramètre $α$ de la fonction $g (I)$ au point $x$ la limite unique $f (x)$ du quotient

\frac{g (I)}{| I |},

pour $I$ appartenant à la famille considérée et tendant vers le point $x$ .

Il résulte d’un théorème de M. Burki11 que cette dérivée est une fonction de première classe de M. Baire (J. C. Burkill, Functions of Intervais, Proceedings of the London Math. Soc. vol. 20 (2), p. 296–7.)

Nous allons établir quelques autres propriétés de la fonction dérivée $f (x)$ de paramètre $α < \frac{1}{2}$ .

Convenons de dire qu’une fonction d’intervalle $h (I)$ est bornée intérieurement, lorsque, pour toute division d’un intervalle $I$ en deux intervalles contigus $I_{1}$ et $I_{2}$ , on a

min {h (I_{1}), h (I_{2})} \leq h (I) \leq max {h (I_{1}), h (I_{2})} .

Théorème. Si le quotient $\frac{g (I)}{| I |}$ est une fonction bornée intérieurement, les ensembles

\begin{array}{l} E_{1} & = E_{x} [f (x) > f (x_{0}) + 𝜀] et \\ E_{2} & = E_{X} [f (x) < f (x_{0}) - 𝜀] \end{array}

ne contiennent pas, dans un voisinage suﬃsamment petit $V_{x_{0}}$ , du point $x_{0}$ , d’autres intervalles fermés $I$ que ceux de densité moyenne inférieure à $α$ , donc tels que

\frac{| I |}{| X_{x_{0}} |} < α .

Supposons au contraire qu’il existe, quel que soit $δ$ positif, un voisinage $V_{x_{0}}$ et un intervalle fermé $I$ , contenu dans $V_{x_{0}}$ et dans $E_{1}$ tels que

| I | \geq α | V_{x_{0}} |, | V_{x_{0}} | < δ .

Or, quel que soit l’intervalle $i$ contenant $x$ et contenu dans $I$ , on a, par déﬁnition de $f (x)$ ,

\frac{g (i)}{| i |} > f (x) - \frac{𝜀}{2} > f (x_{0}) + \frac{𝜀}{2},

dès que $| i | < δ (𝜀, x)$ .

D’après un lemme de N. Lusin (N. Lusin, Recueil de la Soc. Math, de Moscou XVIII, 1911.), il existe donc un nombre ﬁni de ces intervalles $i$ :

i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n},

sans points intérieurs communs et tels que:

\begin{array}{l} I & = i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k}, \\ \frac{g (i_{k})}{| i_{k} |} & > f (x_{0}) + \frac{𝜀}{2} (k = 1, 2, \dots, n) . \end{array}

Comme le quotient $\frac{g (I)}{| I |}$ est une fonction bornée intérieurement, nous voyons que

\frac{g (I)}{| I |} > f (x_{0}) + \frac{𝜀}{2} .

Soit $S_{x_{0}}$ le plus petit voisinage de centre $x_{0}$ contenant $I$ . Comme ce voisinage est contenu dans $V_{x_{0}}$ , on a à fortiori

| I | \geq α | S_{x_{0}} |, | S_{x_{0}} | < δ

et les intervalles, tels que $I$ , forment une famille régulière de paramètre $α$ .

Quand le nombre ô décroit vers zéro, l’intervalle $I$ tend vers le point $x_{0}$ et le quotient $\frac{g (I)}{| I |}$ a pour limite $f (x_{0})$ , ce qui est impossible d’après l’inégalité établie.

Ainsi notre théorème est démontré pour l’ensemble $E_{1}$ . Or le même raisonnement s’applique à l’ensemble $E_{2}$ .

Corollaire 1. Dans chaque intervalle suﬃsamment petit et ayant pour extremité le point $x_{0}$ , existent des points des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ et par suite

\begin{array}{l} \underset{̲}{f} (x_{0} + 0) & \leq f (x_{0}) \leq \bar{f} (x_{0} + 0), \\ \underset{̲}{f} (x_{0} - 0) & \leq f (x_{0}) \leq \bar{f} (x_{0} - 0) . \end{array}

Corollaire 2. Tout point d’un des ensembles

E_{x} [f (x) > A] E_{x} [f (x) < A]

est un point d’accumulation symmétrique.

Corollaire 3. Comme, d’après M. Denjoy (A. Denjoy, Sur les fonctions dérivées sommables, Bull. Soc. Math, de France t. 43, 1915, p. 184, ap. $^{1)}$ .), toute fonction jouissant de la propriété énoncée dans le Cor. 2 est continue au sens de Darboux, nous voyons que la dérivée de paramètre $α < \frac{1}{2}$ prend dans l’intervalle $(a, b)$ toute valeur intermédiaire à $f (a)$ et $f (b)$ .

Applications.

1.

Soit

F (x)

une fonction dérivable dans

(a, b)

.
Posons, pour l’intervalle

I = (α, β)

g (I) = F (β) - F (α) .

La variation $g (I)$ étant additive, la variation relative $\frac{g (I)}{| I |}$ est évidemment une fonction bornée intérieurement.

Or la dérivée F’(x) qui est une dérivée de paramètre $\frac{1}{2}$ de $g (I)$ est en même temps une dérivée de paramètre $α$ de cette fonction d’intervalle, quel que soit $α < 1$ . (J. C. Burkill, loco cit. p. 298.) Elle possède donc les propriétés énoncées dans le théorème et dans les corollaires.

Nous obtenons ainsi une nouvelle démonstration du théorème de Darboux sur les dérivées.

2.

Soit

M (I, λ)

la borne supérieure à densité $λ$ près dans l’intervalle

I

d’une fonction mesurable et presque partout ﬁnie

f (x)

, c’est-à-dire le plus petit des nombres y tels que la densité moyenne de l’ensemble

E = E_{x} [f (x) > y]

est au plus égale à $λ$ (St. Kempisty, Sur les limites approximatives, Comptes Rendus 180 (1925), p. 642–4.).

$M (I, λ)$ est évidemment une fonction d’intervalle ﬁnie et bornée intérieurement.

Posons

g (I) = M (I, λ) | I | .

Si $f (x)$ est approximativement continue, elle est la dérivée de paramètre $α$ de $g (I)$ pour $α$ et $λ$ quelconques entre $0$ et $1$ .

Alors elle appartient à la première classe de M. Baire, prend toute valeur intermédiaire (A. Denjoy, loco cit. p. 184, 179.), et jouit de la propriété générale énoncée dans le théorème qui vient d’être établi.