Gewisse Resultate von Hausdorff, Banach und Tarski über die Möglichkeit bzw. Unmöglichkeit eines allgemeinen (d. h. für alle beschränkten Teilmengen des -dimensionalen Euklidischen Raumes definierten) Masses werden analysiert.
Die genannten Autoren untersuchten u. a. solche Masse (d. h. nichtnegative, für zwei elementfremde Mengen - Addenden additive und nicht identisch verschwindende Mengenfunktionen), welche gegenüber der Gruppe der orthogonalen Abbildungen des Raumes invariant sind. Insbesondere zeigten Banach und Tarski, dass ein solches Mass dann und nur dann möglich ist, wenn der Raum 1- oder 2-dimensional ist.
Es scheint also eine eigentümliche neue Eigenschaft des Raumes von 3 Dimensionen aufwärts vorzulegen.
Es zeigt sich nun, dass die genannte Eigenschaft genauer der Gruppe der orthogonalen Abbildungen zuzuschreiben ist. Diese ist nämlich für 1, 2 Dimensionen auflösbar (d. h. sie hat eine Kette successiver Normalteiler mit lauter Abelschen Faktorgruppen), von 3 an aber besitzt sie eine freie Untergruppe mit zwei Erzeugenden und es lässt sich zeigen dass diese Eigenschaften im wesentlichen für die Existenz bzw. nicht Existenz eines, dieser Gruppe gegenüber invarianten Masses hinreichend sind.
Wenn man Invarianz gegenüber Abbildungs-Gruppen verlangt, ändert sich demgemäss das Bild: bei der affinen Gruppe (bestehend aus allen linearen Abbildungen von der Determinante 1) z. B. tritt dieser Wechsel zwischen 1 und 2 Dimensionen ein – daher existiert dann das Mass nur im 1-dimensionalen.
Es werden noch einige Beispiele für diese gruppentheoretische Bedingtheit des Masses angegeben. Eine genaue Ausführung erscheint demnächst in den Fund. Math.