Hugo Steinhaus (Lwów), Sur quelques applications du calcul fonctionnel à la théorie de séries orthogonales

En (Résumé de la prélection C 6. Le texte complet paraîtra dans les „Studia Mathematica”, I (1929).) se servant du calcul fonctionnel, comme l’a fait M. Banach dans une Note sur une propriété de systèmes orthogonaux (C. R. de l’Académie des Sciences, Paris, 2 juin 1925, (T 180, N $^{\circ}$ 22, pp. 1637–1640).) on obtient les résultats suivants:

A) Si ${φ_{n}}$ et ${ψ_{n}}$ sont deux suites données, normées et orthogonales, composées de fonctions continues ${ψ_{n}}$ , étant en outre complète dans le champ de fonctions continues et si la suite numérique donnée ${λ_{k}}$ a la propriété de transformer tout développement par rapport aux $φ$ d’une fonction continue

\sum_{k = 1}^{\infty} ξ_{k} φ_{k} (τ)

(1)

en un développement par rapport aux $ψ$

\sum_{k = 1}^{\infty} λ_{k} ξ_{k} ψ_{k} (τ)

(2)

d’une fonction continue, alors la convergence uniforme d’une série

\sum_{k = 1}^{\infty} α_{k} φ_{k} (τ)

implique la convergence uniforme de la série

\sum_{k = 1}^{\infty} λ_{k} α_{k} ψ_{k} (τ) .

(Pour $λ_{1} = λ_{2} = \dots = 1$ ou obtient le théorème de M. Banach.)

B) Sans changer l’hypothèse du théorème précédent on peut y remplacer la thèse par une autre, plus générale:

La convergence uniforme d’une série de polynomes en $φ$

(ξ_{1} φ_{n_{1}} + \dots + ξ_{j} φ_{n_{j}}) + (η_{1} φ_{p_{1}} + η_{k} φ_{p_{k}}) + \dots

(3)

implique – quels que soient les $j, k, n_{1}, \dots, n_{j}, p_{1}, \dots, p_{k}, \dots, ξ, η$ choisis – la convergence uniforme de la série transformée

(λ_{n_{1}} ξ_{1} φ_{n_{1}} + \dots) + (λ_{p_{1}} η_{1} ψ_{p_{1}} + \dots)

(4)

de polynomes en $ψ$ .

C) La réciproque du théorème B) est vraie.

D) Pour que la convergence uniforme d’une série (3) implique toujours la convergence uniforme de (4), il faut et il suﬃt qu’il existe une constante $C$ , indépendante de $j, n_{1}, n_{2}, \dots, n_{j}, ξ_{1}, \dots, ξ_{j}$ telle que l’on ait

\begin{matrix} \begin{aligned} \underset{α \leq τ \leq β}{Maximum} de | ξ_{1} φ_{n_{1}} (τ) + \dots + ξ_{j} φ_{n_{j}} (τ) | \leq \\ \leq C . \underset{α \leq β \leq τ}{Maximum} de | λ_{n_{1}} ξ_{1} ψ_{n_{1}} (τ) + \dots + λ_{n_{j}} ψ_{n_{j}} (τ) | . \end{aligned} \end{matrix}

(5)

Les théorèmes B) C) et D) conduisent immédiatement au théorème:

E) Pour que la suite transforme toujours un développement d’une fonction continue (1) en un développement d’une fonction continue (2) – ${φ_{n}}$ et ${ψ_{n}}$ ayant les propriétés spéciﬁées au début – il faut et il suﬃt qu’il existe une constante $C$ remplissant l’inégalité (5) quels que soient les $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{j}, ξ_{1}, \dots, ξ_{j}$ et $j$ .

F) On peut énoncer les mêmes résultats en employant d’autres modes de convergence, p. e. la „convergence en moyenne avec la $p$ -ième puissance” $(p > 1)$ et même on peut employer un mode diﬀérent pour les $φ$ et pour les $ψ$ . On change alors convenablement l’inégalité (5). Le cas $p = 1$ présente des diﬃcultés spéciales.