Tadeusz Ważewski (Kraków), Pewne twierdzenie o funkcjach mających pochodną. Wnioski

Twierdzenie (Twierdzenie to jest przedmiotem noty, którą wysłałem był Prof. Lebesgue’owi. Jest ono uogólnieniem pewnego twierdzenia ogłoszonego w mej pracy: Kontinua prostowalne etc.):

Jeżeli $A$ jest zbiorem mierzalnym zawartym w przedziale $[a, b]$ , zaś $f (x)$ funkcją, mającą w każdym punkcie tego zbioru pochodną różną od zera (skończoną lub nie), to do każdego $𝜀 \geq 0$ należy

1^o): podzbiór $A_{1}$ zbioru $A$ o mierze $< 𝜀$
2^o): podział przedziału $[a, b]$ na przedziały $Δ_{1}, \dots, Δ_{n}$ o tej własności, że funkcja $f (x)$ rozpatrywana na którymkolwiek ze zbiorów $Δ_{i} . (A - A_{1}) (i ∕ l, 2, \dots, n)$
jest monotoniczną w znaczeniu ściślejszem.

Oto niektóre wnioski.

I. Jeżeli funkcje

φ_{ν} (t) (ν ∕ 1, \dots, n)

posiadają niemal wszędzie w przedziale $[a, b]$ pochodną skończoną, to istnieje zbiór miary zero $B$ taki, że gdy

\begin{array}{l} t_{1} & \in [a, b] - B \\ t_{2} & \in [a, b] - B \\ φ_{ν} (t_{1}) & = φ_{ν} (t_{2}) (ν ∕ 1, \dots, n) \end{array}

to macierz

‖\begin{matrix} φ_{1}^{'} (t_{1}), & \dots, & φ_{n}^{'} (t_{1}) \\ φ_{1}^{'} (t_{2}), & \dots, & φ_{n}^{'} (t_{2}) \end{matrix}‖

jest rzędu mniejszego od 2.

II. Jeżeli funkcje

φ_{ν} (t) (ν ∕ 1, \dots, n)

są absolutnie ciągłe w przedziale $[a, b]$ $(a < b)$ to długość (w sensie Janzena lub Peany) kontinuum opisanego przez punkt

φ_{1} (t), \dots, φ_{n} (t)

wynosi

\int_{a}^{b} \frac{\sqrt{\sum_{ν ∕ 1}^{n} {[φ_{ν}^{'} (t)]}^{2}}}{m (t)} d t

gdzie $m (t)$ oznacza krotność punktu $t$ , t. j. ilość liczb $σ$ spełniających system równań

φ_{ν} (σ) = φ_{ν} (t) (ν ∕ 1, \dots, n) .

Jeżeli krotność jest dla pewnego $t$ nieskończona, przyjmujemy w powyższym wzorze

\frac{1}{m (t)} = 0 .

III. Jeżeli Kv jest ciągiem kontinuów prostowalnych, dla których

\begin{array}{l} K_{ν} & \subset K_{ν + 1} (ν ∕ 1, 2, \dots) \\ długość K_{ν} < a < + \infty \end{array}

i jeżeli $K_{0}$ jest kontinuum określonem przez związek

K_{0} = \bar{\sum_{ν ∕ 1}^{\infty} K_{ν}},

\begin{array}{l} długość K_{0} & = długość \bar{\sum_{ν ∕ 1}^{\infty} K_{ν}} \\ = długość \sum_{ν ∕ 1}^{\infty} K_{ν} . \end{array}

Inaczej

długość (\bar{\sum_{ν ∕ 1}^{\infty} K_{ν}} - \sum_{ν ∕ 1}^{\infty} K_{ν}) = 0 .

IV. Jeżeli $K$ jest kontinuum prostowalnem, jeżeli

K_{0}, K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

są podkontinuami $K$ , to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by

lim_{ν ∕ \infty} długość K_{ν} = długość K_{0}

jest, by kontinuum $K_{ν}$ zmierzało do kontinuum $K_{0}$ w sensie Hausdorﬀa.

III i IV dowodzę niezależnie od twierdzenia naczelnego.