Wacław Sierpiński (Warszawa), Uwaga o twierdzeniu Jegorowa

W myśl znanego twierdzenia Jegorowa, jeżeli $f_n\left(x\right)$ $\left(n=1,2,3,\dots \right)$ jest ciągiem nieskończonym funkcyj mierzalnych, zbieżnym w przedziale $I\left(O\le x\le 1\right)$, to dla każdej liczby dodatniej $𝜀$ istnieje zbiór $E$ o mierze zewnętrznej $>1-𝜀$, zawarty w $I$, i taki, że ciąg $f_n\left(x\right)$ $\left(n=1,2,\dots \right)$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $E$. Autor dowodzi, że jeżeli hipoteza continuum $\left(2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1\right)$ jest prawdziwa, to twierdzenie to nie jest prawdziwem dla ciągów funkcyj niemierzalnych. Mianowicie, jeżeli $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$ to istnieje ciąg nieskończony zbieżny funkcyj $f_n\left(x\right)$ $\left(n=1,2,\dots \right)$, który jest zbieżny niejednostajnie w każdym zbiorze nieprzeliczalnym.

Ob. Sprawozdania Tow. Nauk. Warszawskiego XX, 1928.