Władysław Nikliborc (Lwów), O nowych zagadnieniach rachunku wariacyjnego i zasadzie Hamiltona w dynamice

§ 1. Niechaj będzie dany dynamiczny układ materjalny o $n$ stopniach swobody. Przez $q_{i}$ oraz $\dot{q}$ oznaczać będziemy – jak zwykle się to robi (Por. P. Appell. Traité de Mécanique rationelle. T. II. (1896). Str. 332 i nast.) – t. zw. uogólnione współrzędne względnie uogólnione prędkości. Niechaj $T$ oznacza energję kinetyczną układu. Jeżeli warunki wiążące były holonomiczne (Zob. np. Whittaker. Analytische Dynamik. Berlin. Springer 1924. Str. 36.), wówczas ruch układu jest określony równaniami różniczkowemi Lagrange’a:

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = Q_{i} (i = 1, 2, \dots, n),

(1)

gdzie $Q_{i}$ oznaczają t. zw. uogólnione siły (Np. Whittaker, l. c. str. 39.). Zarówno $T$ jak i $Q$ , są w najogólniejszym wypadku funkcjami zmiennych $t, q_{k}, {\dot{q}}_{k}$ .

W dynamice rozróżnia się dwa zasadnicze wypadki:

a): Funkcje $Q_{i}$ zależą jedynie od zmiennych $t, q_{k}$ , przyczem istnieje taka funkcja V, zwana potencjałem, że $Q_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_{i}} (i = 1, 2, \dots, n),$
b): założenia poprzedniego przypadku nie są spełnione.

W wypadku a)), wprowadzając funkcję $L = T - V$ zwaną potencjałem kinetycznym, możemy równania (1) napisać w formie

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 (i = 1, 2, \dots, n) .

(2)

Wynika stąd, że jeżeli oznaczymy przez $A$ pozycję układu w chwili $t_{1}$ zaś przez $B$ pozycję układu w chwili $t_{2}$ , wówczas dla trajektorji rzeczywistej zachodzi wzór

δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t = 0

(3)

ze względu na wszystkie inne możliwe trajektorje, zgodne z warunkami układu, i przeprowadzające układ z pozycji $A$ w chwili $t_{1}$ do pozycji $B$ w chwili $t_{2}$ .

Związek (3) wyraża dobrze znaną zasadę Hamiltona, którą można wypowiedzieć w formie następującej (Zob. np. Appell, 1. c. T. II. Str. 426 i nast. Także Bolza. Variationsrechnung. Leipzig 1904. Str. 554.):

„W dynamicznym układzie materjalnym o $n$ stopniach swobody, holonomicznym, w którym nadto istnieje potencjał kinetyczny, rzeczywistą trajektorją, przeprowadzającą układ z pozycji $A$ w chwili $t_{1}$ , do pozycji $B$ w chwili $t_{2}$ , jest jedna z tych trajektorji, dla której warjacja całki

\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t

(4)

jest zerem, przyczem do porównania są dopuszczone wszystkie trajektorje przeprowadzające układ, z pozycji $A$ w chwili $t_{1}$ do pozycji $B$ w chwili $t_{2}$ zgodnie z warunkami wiążącemi”.

W tym więc wypadku rola równań (1) względnie (2) może być określoną przez powiedzenie, iż równania te są Eulerowskiemi równaniami różniczkowemi, należącemi do problematu warjacyjnego całki (4).

W wypadku b)) równania (1) naogół nie są równaniami Eulerowskiemi żadnego problematu warjacyjnego (Appell, 1. c. $^{4}$ ). Str. 423–426.). Rozważanie tego właśnie wypadku doprowadziło mię do uogólnienia klasycznych problematów rachunku warjacyjnego takiego, że:

a): dotychczasowe klasyczne problematy warjacyjne bez warunków ubocznych będą się zawierały w tej ogólniejszej, sformułowanej przezemnie klasie zagadnień,
b): równania (1) będą w każdym wypadku równaniami różniczkowemi, należącemi do jakiegoś uogólnionego zagadnienia warjacyjnego w tym sensie, w jakim równania (2) należą do problematu warjacyjnego (3).

W szczególności będziemy potem mogli nadać zasadzie Hamiltona nową formę ogólniejszą niż dotychczas.

§ 2. W ustępie niniejszym sformułujemy nową klasę zagadnień w wypadku możliwie prostym, t. zn. gdy mamy do czynienia z jedną tylko funkcją niewiadomą, przyczem pod całką występują jedynie pochodne pierwszego rzędu funkcji niewiadomej.

Niechaj $(R)$ oznacza dowolny obszar płaski, spójny. Oznaczmy przez $(𝔗)$ zbiór wszystkich takich punktów przestrzeni $5$ -cio wymiarowej zmiennych

x, y, y^{'}, ȳ, ȳ^{'},

których spółrzędne spełniają warunki następujące:

1^o: $(x, y)$ oraz $(x, ȳ)$ należą do $(R)$
2^o: $- \infty < y^{'} < + \infty$ , $- \infty < ȳ^{'} < + \infty$ .

Oznaczmy przez $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ i $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ dwa dowolne punkty obszaru $(R)$ takie, że

x_{l} < x_{2} .

Niechaj $(𝔐)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji $ȳ (x)$ , które mają własności:

1^o: są w przedziale zamkniętym klasy $(C^{″})$ (Co do tego określenia zob. Bolza: „Variationsrechnung”, str. 13.)
2^o: spełniają warunki $ȳ (x_{1}) = y_{1}, ȳ (x_{2}) = y_{2}$
3^o: dla każdego $x$ z $[x_{1}, x_{2}]$ punkt ${x, ȳ (x)}$ leży wewnątrz $(R)$ .

Niechaj wreszcie daną będzie funkcja $f (x, y, y^{'}, ȳ, ȳ^{'})$ określona w $(𝔗)$ i klasy $(C^{″})$ tamże. Stawiamy teraz zagadnienie:

„Wyznaczyć w zbiorze $(𝔐)$ taką funkcję $y (x)$ , aby dla każdej innej funkcji tego zbioru zachodziła nierówność

\begin{array}{l} \int_{x_{1}}^{x_{2}} f [x, y (x), y^{'} (x), ȳ (x), ȳ^{'} (x)] d x \geq \\ \int_{x_{1}}^{x_{2}} f [x, y (x), y^{'} (x), y (x), y^{'} (x)] d x . ” \end{array}

§ 3. Stosując zwyczajne metody klasycznego rachunku warjacyjnego, dochodzimy z łatwością do twierdzenia:

„Warunkiem koniecznym na to, aby funkcja $y (x)$ była rozwiązaniem postawionego zagadnienia, jest, żeby spełniała równanie różniczkowe

\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial ȳ^{'}} - \frac{\partial f}{\partial ȳ} = 0,

przyczem pochodne cząstkowe $\frac{\partial f}{\partial ȳ}$ oraz $\frac{\partial f}{\partial ȳ^{'}}$ mają być obliczone dla argumentów

x, y (x), y^{'} (x), y (x), y^{'} (x) . ”

Z powyższego twierdzenia wynika, że postawione zadanie będzie naogół miało rozwiązanie i to naogół w tym samym stopniu ogólności, jak w najprostszem zadaniu klasycznem.

§ 4. Rzecz oczywista, że można rozważać analogiczny problemat z $n$ funkcjami niewiadomemi. Umówmy się dla krótkości oznaczać punkt $4 n + 1$ wymiarowej przestrzeni zmiennych

x, y_{1}, \dots, y_{n}, y_{1}^{'}, \dots, y_{n}^{'}, ȳ_{1}, \dots, ȳ_{n}, ȳ_{1}^{'}, \dots, ȳ_{n}^{'}

przez $(x, y_{i}, y_{i}^{'}, ȳ_{i}, ȳ_{i}^{'})$ i analogicznie punkt $n + 1$ wymiarowej przestrzeni zmiennych

x, ȳ_{1}, \dots, ȳ_{n}

krótko przez $(x, ȳ_{i})$ .

Niech będą dane dwa punkty $A (x, y_{i}^{(1)})$ oraz $B (x, y_{i}^{(2)})$ przestrzeni $n + 1$ wymiarowej. Pomijając założenia możemy postawić zadanie:

„W zbiorze układów funkcji ${ȳ_{1} (x), \dots, ȳ_{n} (x)}$ spełniających warunki

\begin{array}{l} ȳ_{i} (x_{1}) & = y_{i}^{(1)} \\ ȳ_{i} (x_{2}) & = y_{i}^{(2)} (i = 1, 2, \dots, n) \end{array}

wyznaczyć taki układ szczególny ${y_{1} (x), \dots, y_{n} (x)}$ , aby dla każdego innego układu ${ȳ_{1} (x), \dots, ȳ_{n} (x)}$ z tego zbioru zachodziła nierówność

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{x_{1}}^{x_{2}} f [x, y (x), y_{i}^{'} (x), ȳ_{i} (x), ȳ_{i}^{'} (x)] d x \geq \\ \int_{x_{1}}^{x_{2}} f [x, y_{i} (x), y_{i}^{'} (x), y_{i} (x), y_{i}^{'} (x)] d x, \end{aligned} \end{matrix}

(5)

gdzie $f$ oznacza daną funkcję punktu przestrzeni zmiennych $(x, y_{i}, y_{i}^{'}, ȳ_{i}, ȳ_{i}^{'})$ ”.

Z łatwością można stwierdzić, że jeśli układ ${y_{1} (x), \dots, y_{n} (x)}$ jest rozwiązaniem postawionego zadania, to spełnia układ równań różniczkowych

\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial ȳ_{i}^{'}} - \frac{\partial f}{\partial ȳ_{i}} = 0 (i = 1, 2, \dots, n) .

(6)

§ 5. W ustępie tym zmienimy oznaczenia, kładąc

x = t, y_{i} = q_{i}, y_{i}^{'} = {\dot{q}}_{i}, ȳ_{i} = {\bar{q}}_{i}, ȳ_{i}^{'} = {\bar{\dot{q}}}_{i} .

(7)

Niechaj będą dane funkcje

T ({\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}, t), Q ({\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}, t), \dots, Q_{n} ({\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}, t) .

Połóżmy

\begin{matrix} \begin{aligned} f (t, q_{i}, {\dot{q}}_{i}, {\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}) = T ({\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}, t) \\ + \sum_{k = 1}^{n} Q_{k} ({\bar{q}}_{i}, {\bar{\dot{q}}}_{i}, t) ({\bar{q}}_{k} - q_{k}) \end{aligned} \end{matrix}

(8)

i sformułujemy dla tej funkcji $f$ zadanie, podane w ustępie poprzednim.

Mamy więc dane dwa punkty $A (t_{1}, q_{i}^{(1)})$ $B (t_{2}, q_{i}^{(2)})$ oraz zbiór wszystkich układów funkcji ${{\bar{q}}_{i} (t), \dots, {\bar{q}}_{n} (t)}$ takich, że

\begin{array}{l} {\bar{q}}_{i} (t_{1}) & = q_{i}^{(1)} \\ {\bar{q}}_{i} (t_{2}) & = q_{i}^{(2)} (i = 1, 2, \dots, n) . \end{array}

Chodzi o znalezienie takiego szczególnego układu funkcji ${q_{1} (t), \dots, q_{n} (t)}$ w tym zbiorze, aby dla każdego innego układu ${{\bar{q}}_{1} (t), \dots, {\bar{q}}_{n} (t)}$ zbioru zachodziła nierówność

\begin{array}{l} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f [t, q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), {\bar{q}}_{i} (t), {\bar{\dot{q}}}_{i} (t)] d t \geq \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} f [t, q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t)] d t, \end{array}

czyli w tym wypadku z uwagi na wzór (8) nierówność

\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}} {T [q_{i} (t), {\bar{\dot{q}}}_{i} (t), t] \\ + \sum_{k = 1}^{n} Q_{k} [{\bar{q}}_{i} (t), {\bar{\dot{q}}}_{i} (t), t] . [{\bar{q}}_{k} (t) - q_{k} (t)]} d t \geq \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} T [q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), t] d t . \end{aligned} \end{matrix}

(9)

Warunki konieczne na funkcje $q_{i} (t)$ , t. zn. równania (6) przybiorą ze względu na oznaczenia (7) formę:

\frac{d}{d t} \frac{\partial f}{\partial {\bar{\dot{q}}}_{k}} - \frac{\partial f}{\partial {\bar{q}}_{k}} = 0 (k = 1, 2, \dots, n)

przyczem pochodne $\frac{\partial f}{\partial {\bar{q}}_{k}}$ oraz $\frac{\partial f}{\partial {\bar{\dot{q}}}_{k}}$ należy obliczyć dla argumentów

t, q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t) .

Z uwagi na to oraz na wzór (8) równania te przybiorą postać

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\bar{\dot{q}}}_{k}} - \frac{\partial T}{\partial {\bar{q}}_{k}} = Q_{k} (k = 1, 2, \dots, n)

(10)

Tutaj pochodne $\frac{\partial T}{\partial {\bar{q}}_{k}}$ , $\frac{\partial T}{\partial {\bar{\dot{q}}}_{k}}$ oraz funkcje $Q_{k}$ mają być określone dla argumentów

t, q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t) .

§ 6. Równania (10) tylko symbolistyką różnią się od równań (1) a w gruncie rzeczy są z niemi identyczne. W ten sposób stwierdzamy, że każdy układ równań kształtu (2) należy do problematu, określonego nierównością (9).

A zatem

„Każdy układ równań różniczkowych Lagrange’a należy do pewnego »uogólnionego« problematu warjaryjnego, a mianowicie do problematu, wyrażonego nierównością (9)”.

Fakt ten prowadzi nas do nadania zasadzie Hamiltona następującej ogólniejszej formy:

„W każdym dynamicznym układzie małerjalnym o $n$ stopniach swobody, holonomicznym, rzeczywistą trajektorją, przeprowadzającą układ z pozycji $A$ w chwili $t_{1}$ do pozycji $B$ w chwili $t_{2}$ , jest jedna z tych trajektorji $q_{i} (t)$ , dla której spełnione są warunki konieczne na to, aby zachodziła nierówność

\begin{array}{l} \int_{t_{1}}^{t_{2}} {T [{\bar{q}}_{i} (t), {\bar{\dot{q}}}_{i} (t), t] \\ + \sum_{k = 1}^{n} Q_{k} [{\bar{q}}_{i} (t), {\bar{\dot{q}}}_{i} (t), t] . [{\bar{q}}_{k} (t) - q_{k} (t)]} d t \geq \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} T [q_{i} (t), {\dot{q}}_{i} (t), t] d t . \end{array}

przyczem do porównania są dopuszczone wszystkie trajektorje ${\bar{q}}_{k} (t)$ , przeprowadzające układ z pozycji $A$ w chwili $t_{1}$ do pozycji $B$ w chwili $t_{2}$ zgodnie z warunkami wiążącemi”.

Czytelnika interesującego się bliżej temi kwestjami odsyłamy do naszej pracy p. t. „Sur une nouvelle classe des problèmes du calcul des variations” w »Annales de la Société Mathématique Polonaise«.