Kazimierz Abramowicz (Poznań), O przekształceniu funkcyj automorficznych wielu zmiennych

Zadanie, podane przez Poinecaré’go w rozprawie: Sur les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique o przekształceniu funkcyj Fuchsa, może być uogólnione na funkcje automorficzne wielu zmiennych. W przypadku funkcji automorficznej $f\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$ o $n$ zmiennych $x_1,x_2,\dots ,x_n$, należącej do grupy nieciągłej $G$, zadanie będzie polegało na wyznaczeniu warunków, przy których istnieje zależność algebraiczna między funkcją $f$ i funkcją przekształconą za pomocą pewnego podstawienia $S$, nie należącego do grupy $G$. Naogół nie dla każdej funkcji automorficznej $f$ istnieć będzie takie podstawienie $S$, dla którego zachodzić będzie wspomniana zależność algebraiczna; będzie to zachodziło tylko wyjątkowo dla poszczególnych funkcyj, i pierwszym celem będzie wyznaczenie tych funkcyj, dla których zadanie o przekształceniu jest możliwe. Zadanie nasze możemy sformułować tak:

jaką ma być grupa nieciągła $G$ funkcji automorficznej $f\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$ o $n$ zmiennych $x_1,x_2,\dots ,x_n$, ażeby istniała grupa ciągła $g$, której każde podstawienie $S$ po zastosowaniu do funkcji $f$ daje nową funkcję, związaną z poprzednią zależnością algebraiczną.

Bierzemy pod uwagę grupy t. z. kwadratowe i grupy linjowe lub hyperfuchsowe. Co do grup kwadratowych okazujemy, że twierdzenie Poincarégo o przekształceniu funkcyj fuchsowych arytmetycznych rozciąga się na funkcje należące do grupy kwadratowej o spółczynnikach całkowitych wymiernych. W przypadku funkcyj hyperfuchsowych podajemy metodę, która pozwala wyznaczyć przypadki, w których istnieje funkcja hyperfuchsowa $f$, jak również i grupa ciągła $g$, której każde podstawienie zastosowane do funkcji $f$ daje nową funkcję, związaną z poprzednią zależnością algebraiczną.

Metoda opiera się na badaniu punktów stałych grupy hyperfuchsowej $G$, co do których dowodzimy twierdzenie, że punkty te pozostają bez zmiany przy podstawieniach grupy ciągłej $g$; twierdzenie to prowadzi do wyznaczenia grupy $G$.