Franciszek Leja (Warszawa), Sur la frontière du domaine de convergence des séries entières doubles

1. Le but de cette communication est d’indiquer une certaine propriété des points de divergence d’une série entière double

\sum_{μ, ν = 0}^{\infty} a_{μ ν} x^{μ} y^{ν},

(1)

concernant la répartition de ces points sur la frontière du domaine de la convergence absolue des séries (1). Tout d’abord je vais démontrer uu théorème concernant les séries simples

\sum_{μ = 0}^{\infty} a_{μ ν} x^{μ}, ν = 0, 1, 2, \dots

formées par les diﬀérentes lignes de la série (1) et ensuite je donne une application de ce théorème pour le but indiqué.

2. Appelons ensemble d’unicité chaque ensemble $(E)$ des points du plan complexe tels que, si deux séries entières simples $\sum a_{ν} x^{ν}$ et $\sum b_{ν} x^{ν}$ convergent et prennent les mêmes valeurs en chaque point de $(E)$ ; ces séries sont toujours identiques.

Théorème. Si une série entière double (1) converge (Au sens de M. Pringsheim, v. Pringsheim: Vorles. üb. Zahlenlehre, Leipzig 1916.) aux points $(x_{0}, y)$ , où $x_{0}$ est ﬁxe et $y$ parcourt un ensemble d’unicité $(E)$ , toutes les lignes de cette série

\sum_{μ = 0}^{\infty} a_{μ ν} x_{0}^{μ}, ν = 0, 1, 2, \dots

convergent au point $x_{0}$ . (On sait, qu’une série double peut converger sans qu’une seule ligne de cette série soit convergente.)

Démonstration: Sans nuire à la généralité on peut supposer que $x_{0} = 1$ . Posons

\sum_{i = 0}^{μ} a_{i j} = σ_{μ}^{(j)}

\begin{matrix} \begin{aligned} s_{μ ν} (y) & = \sum_{i = 0}^{μ} \sum_{j = 0}^{ν} a_{i j} y^{j} \\ = σ_{μ}^{(0)} + σ_{μ}^{(1)} y + \dots + σ_{μ}^{(ν)} y^{ν} \end{aligned} \end{matrix}

(2)

et supposons que la suite double (2) des sommes partielles de la série (1) converge

s_{μ ν} (y) \to s (y)

(3)

pour $μ$ et $ν \to \infty$ dans un ensemble d’unicité $(E)$ des $y$ .

Je dis d’abord que chacune des suites simples

σ_{0}^{(j)}, σ_{1}^{(j)}, \dots, σ_{μ}^{(j)}, \dots; j = 0, 1, 2, \dots

(4)

est bornée. Eu eﬀet, étant

s_{μ ν} (y) - s_{μ, ν - 1} (y) = σ_{μ}^{(ν)} y^{ν} \to 0

pour $μ$ et $ν \to \infty$ et pour chaque $y$ appartenant à $(E)$ on voit que, $y$ étant ﬁxé, il existe un indice $p$ tel qu’on a

| σ_{μ}^{(ν)} y^{ν} | < 1, pour ν > p et μ > p,

donc toutes les suites (4) pour lesquelles $j > p$ sont bornées.

Soient $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{p}$ , $p + 1$ points de $(E)$ diﬀérents entre eux (L’ensemble $(E)$ est, comme on sait, toujours inﬁni.). D’après (2) et (3) il existe un indice $q \geq p$ tel qu’on a

| σ_{μ}^{(0)} + σ_{μ}^{(1)} y + \dots + σ_{μ}^{(ν)} y^{ν} - s (y) | < 1,

pour $μ$ et $ν \geq q$ et pour chaque $y = y_{0}, y_{1}, \dots, y_{r}$ . Il s’en suit que la suite

σ_{μ}^{(0)} + σ_{μ}^{(1)} y + \dots + σ_{μ}^{(p)} y^{p}, μ = 0, 1, 2, \dots

est bornée pour $y = y_{0}, y_{1}, \dots, y_{p}$ et, par conséquent, les suites

σ_{μ}^{(0)}, σ_{μ}^{(1)}, \dots, σ_{μ}^{(p)}; μ = 0, 1, 2, \dots

sont bornées.

Supposons maintenant que les suites (4) ne soient pas convergentes et que, en particulier, on ait

σ_{p_{k}}^{(0)} \to a_{0} et σ_{q_{k}}^{(0)} \to b_{0} \neq a_{0}

pour $k \to \infty$ , où $p_{1}, p_{2}, \dots$ et $q_{1}, q_{2}, \dots$ désignent deux suites croissantes des nombres naturels. Posons

σ_{p_{k}}^{(j)} = σ_{k 0}^{(j)} et σ_{q_{k}}^{(j)} = s_{k 0}^{(j)}; k, j = 0, 1, 2, \dots

La suite simple $σ_{k 0}^{(j)}$ , $k = 0, 1, \dots$ , étant bornée quel que soit $j$ , on peut tirer de la suite $σ_{k 0}^{(1)}$ $k = 0, 1, \dots$ , une suite partielle, que je désignerai par $σ_{k 1}^{(j)}$ convergente vers une limite $a_{1}$ ; désignons par $σ_{k 1}^{(j)}$ , $k = 0, 1, \dots$ , la suite partielle de $σ_{k 0}^{(j)}$ , $k = 0, 1, \dots$ , correspondante à $σ_{k 1}^{(1)}$ et tirons maintenant de la suite $σ_{k 1}^{(2)}$ une suite partielle, qui sera désignée par $σ_{k 2}^{(2)}$ , convergente vers une limite $a_{2}$ et ainsi de suite.

On a ainsi construit pour chaque j une suite des suites simples suivantes

\begin{array}{l} σ_{00}^{(j)}, σ_{10}^{(j)}, \dots, σ_{k 0}^{(j)} \\ σ_{01}^{(j)}, σ_{11}^{(j)}, \dots, σ_{k 1}^{(j)} \\ \dots \end{array}

dont chacune est partielle par rapport à la suite précédente et dont celle qui se trouve dans la $(j + l)$ -me ligne converge vers $a_{j}$ . Il s’ensuit que la suite diagonale $σ_{k k}^{(j)}$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ converge, elle aussi, vers $a_{j}$

σ_{k k}^{(j)} \to_{k \to \infty}^{} a

pour tous les $j = 0, 1, 2, \dots$

Pareillement, on peut tirer de la suite simple $σ_{q_{k}}$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ , une suite partielle, que je désignerai par $s_{k k}^{(j)}$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ , convergente pour chaque $j = 0, 1, 2, \dots$ vers une limite $b_{j}$

s_{k k}^{(j)} \to_{k \to \infty}^{} b_{j}

dont $b_{0}$ est spéciﬁé plus haut et diﬀère de $a_{0}$ .

Cela posé, je dis que les deux séries entières simples

\begin{matrix} \begin{aligned} a_{0} + a_{1} y + a_{2} y^{2} + \dots \\ b_{0} + b_{1} y + b_{2} y^{2} + \dots \end{aligned} \end{matrix}

(5)

convergent et qu’elles prennent les mêmes valeurs en chaque point de l’ensemble $(E)$ . En eﬀet, les deux suites simples $σ_{k k}^{(j)}$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ et $s_{k k}^{(j)}$ , $k = 0, 1, 2, \dots$ étant partielles par rapport à la suite $σ_{μ}^{(j)}$ , $(μ = 0, 1, 2, \dots$ , posons

σ_{k k}^{(j)} = σ_{α k}^{(j)} et s_{k k}^{(j)} = σ_{β k}^{(j)}; k, j = 0, 1, 2, \dots

Les nombres naturels $α_{k}$ et $β_{k}$ croissent avec $k$ vers l’inﬁni et, lorsque $k$ et $ν \to \infty$ , on a, d’après (3)

\begin{array}{l} s_{α_{k} ν} = σ_{α_{k}}^{(0)} + σ_{α_{k}}^{(1)} y + \dots + σ_{α_{k}}^{(ν)} y^{ν} \to s (y) \\ s_{β_{k} ν} = σ_{β_{k}}^{(0)} + σ_{β_{k}}^{(1)} y + \dots + σ_{β_{k}}^{(ν)} y^{ν} \to s (y) \end{array}

pour chaque valeur de $y$ appartenant à l’ensemble $(E)$ ; mais, comme pour $k \to \infty$

σ_{α_{k}}^{(j)} \to a_{j}, σ_{β_{k}}^{(j)} \to b_{j}, j = 0, 1, 2, \dots,

il s’ensuit que

\sum a_{j} y^{j} = \sum b_{j} y^{j}

en chaque point de $(E)$ , donc, $(E)$ étant un ensemble d’unicité, les séries (5) doivent être identiques et, par suite, on a $a_{0} = b_{0}$ . Le théoreme est donc démontré.

3. Désignons par $(F)$ la frontière du domaine de la convergence absolue de la série double (1). Cette frontière peut, comme on sait (V. F. Hartogs: Dissert. München 1904, ou Math. Ann. t. 62, 1906.
F. Leja: Séries ent. doubles et multiples, Prace mat. ﬁz. t. 33, 1925.), être représentée par deux équations de la forme

\begin{align} | y | & = φ (| x |), 0 \leq | x | \leq R & (6) \\ | x | & = R . 0 \leq | y | < φ (R) & (7) \end{align}

ou, dans certains cas, par l’une d’elles seulement (L’équation (7) doit disparaître si $φ (R) = 0$ ou si $R = \infty$ ; au contraire, l’équation (6) doit disparaître si $φ (R) = \infty$ . La fonction non negative $φ (t)$ est toujours non croissante et continue.), ces équations ayant la signiﬁcation suivante: Si un point $(x_{0} y_{0})$ satisfait à une de ces équations, c’est-à-dire s’il est situé sur la frontière $(F)$ , la série (1) converge absolument en chaque point $(x, y)$ pour lequel $| x | < | x_{0} |$ et $| y | < | y_{0} |$ et, en même temps, elle diverge absolument en chaque point $(x, y)$ pour lequel $| x | > | x_{0} |$ et $| y | > | y_{0} |$ .

Posons

F = C + D

où $C$ désigne l’ensemble des points de convergence (absolue ou non) de la série (1) situés sur $F$ et $D$ désigne l’ensemble des points de divergence. La structure de ces deux ensembles n’est pas encore connue et le théorème démontré plus haut permet d’éclaircir un certain détail de ce problème diﬃcile.

Remarquons que, dans le cas des séries entières simples dans lequel $F$ représente une circonférence, les ensembles $C$ et $D$ peuvent contenir des points isolés dans l’ensemble $F$ (Le problème de la structure des ensembles $C$ et $D$ dans le cas des séries simples n’est pas encore élucidé complètement. On sait seulement que l’ensemble $C$ doit être uu $F_{σ δ}$ [v. W. Sierpiński: Fundamenta Math. t. II, 1921 p. 41].). Or, le cas des séries entières doubles est diﬀérent. Je vais notamment prouver que:

\begin{matrix} \begin{aligned} 1^{\circ} . Les points de divergence de la série \\ situés sur la partie de (F) ne peuvent \\ pas être isolés dans l’ensemble (F) . \end{aligned} \end{matrix}

(8)

En eﬀet, supposons que la série

\sum_{μ, ν} a_{μ ν} x^{μ} y^{ν},

(1)

diverge au point $(x_{0} y_{0})$ situé sur la partie (8) de $(F)$ et que ce point soit isolé par rapport à $(F)$ . Il existe donc un voisinage

| y - y_{0} | < δ

(9)

tel que la série (1) converge en chaque point $(x_{0} y_{0})$ , où $y \neq y_{0}$ appartient à ce voisinage. Or, chaque voisinage forme un ensemble d’unicité donc toutes les lignes $\sum_{μ = 0}^{\infty} a_{μ ν} x^{μ}$ , $ν = 0, 1, 2, \dots$ de la série (1) convergent, d’après notre théorème, au point $x_{0}$ .

Soit y’ un point du voisinage (9) tel qu’on ait $| y^{'} | > | y_{0} |$ ; la série (1) converge au point $(x_{0} y^{'})$ et ses lignes convergent au point $x_{0}$ donc, d’après un théorème de M. Hartogs (Dissert. p. 22.), la série (1) converge en chaque point $(x_{0} y_{0})$ où $| y < | y^{'} |$ et, par suite, elle converge au point $(x_{0} y_{0})$ contrairement à l’hypothèse. La proposition est donc démontrée.

Cette propriété des points de divergence semble être surprenante parce que les points de convergence se comportent autrement. Je vais donner l’exemple suivant:

\begin{array}{l} 2^{\circ} . Exemple d’une série double ayant sur la partie (8) \\ de (F) un point de convergence isolé dans l’ensemble (F) . \end{array}

Soient

\sum a_{μ} x^{μ}, \sum b_{ν} y^{ν}

(10)

deux séries simples dont le rayon de convergence est $= 1$ . Supposons que la première d’elles diverge partout sur la circonférence $| x | = 1$ mais de sorte que les sommes partielles

s_{μ} (x) = \sum_{i = 0}^{μ} a_{i} x^{i}, μ = 0, 1, 2, \dots

soient bornées au point $x = 1$ et non bornées en tous les autres points de la circonférence $| x | = 1$ . (L’existence d’une telle série résulte des recherches de M. Neder: Dissert. Gôttingen (1919).)

La seconde des séries (10) peut être quelconque pourvu qu’elle s’annule au point $y = \frac{1}{2}$ sans s’annuler ailleurs.

Cela posé, considérons la série double suivante

\begin{array}{l} \sum_{μ, ν} a_{μ ν} x^{μ} y^{ν} & = a_{0} b_{0} + a_{1} b_{0} x + a_{2} b_{0} x^{2} + \dots \\ + a_{0} b_{1} y + a_{1} b_{1} x y + a_{2} b_{1} x^{2} y + \dots \\ + a_{0} b_{2} y^{2} + a_{1} b_{2} x y^{2} + a_{2} b_{2} x^{2} y^{2} + \dots \\ + \dots \dots \end{array}

où l’on a

a_{μ ν} = a_{μ} b_{ν} .

Les sommes partielles de cette série ont la forme suivante

s_{μ ν} (x y) = (\sum_{i = 0}^{μ} a_{i} x^{i}) (\sum_{j = 0}^{ν} b_{j} y^{j})

(11)

donc les équations (6) et (8) de la frontière $(F)$ de notre série sont

\begin{align} | y | & = 1, 0 \leq | x | \leq 1 & (6) \\ | x | = 1, 0 \leq | y | \leq 1, & (7) \end{align}

d’où l’on voit que le point $(x, y) = (1, \frac{1}{2})$ est situé sur la partie (7) de $(F)$ . Or, en vertu des hypothèses faites sur les séries (10), la suite double (11) converge au point $(1, \frac{1}{2})$ et diverge en tous les autres points de la partie (7) de $(F)$ , donc le point de convergence $(1, \frac{1}{2})$ est isolé dans $(F)$ .

Ajoutons qu’il est probable que la proposition $1^{\circ}$ démontrée pour les points situés sur la partie (7) de $(F)$ peut être étendue aux autres points de divergence situés sur $(F)$ , mais la démonstration de ce fait semble être beaucoup plus diﬃcile.

Streszczenie. Celem tego referatu jest dowód podanego niżej twierdzenia i zastosowanie tego twierdzenia do pewnej własności brzegu obszaru bezwzględnej zbieżności szeregów potęgowych podwójnych.

Nazwijmy zbiorem jednoznaczności każdy zbiór $(E)$ punktów płaszczyzny mający tę własność że, gdy dwa szeregi potęgowe pojedyńcze $\sum a_{ν} x^{ν}$ i $\sum b_{ν} x^{ν}$ są zbieżne w każdym punkcie zbioru $(E)$ , to szeregi te są identyczne.

Twierdzenie: Jeśli szereg potęgowy podwójny

\sum_{μ, ν = 0}^{\infty} a_{μ ν} x^{μ} y^{ν}

(1)

jest zbieżny w punktach $(x_{0}, y)$ , gdzie $x_{0}$ jest stałe zaś $y$ przebiega pewien zbiór jednoznaczności $(E)$ , to wszystkie wiersze $\sum_{μ = 0}^{\infty} a_{μ ν} x_{0}^{μ}$ , $ν = 0, 1, 2, \dots$ szeregu (1) są zbieżne.

Brzeg $(F)$ obszaru bezwzględnej zbieżności szeregu potęgowego (1) można, jak wiadomo, przedstawić dwoma równaniami postaci

\begin{align} | y | & = φ (| x |), gdzie 0 \leq | x | \leq R & (2) \\ | x | & = R, 0 \leq | y | < φ (R), & (3) \end{align}

z których pierwsze przedstawia na płaszczyźnie dwóch zmiennych rzeczywistych $| x |$ i $| y |$ krzywą ciągłą i nierosnącą, drugie zaś przedstawia prostą, równoległą do osi $| y |$ . Z pomocą poprzedniego twierdzenia można dowieść, że:

Punkty rozbieżności szeregu (1), leżące na części (3) brzegu $(F)$ nie mogą być izolowane w zbiorze punktów brzegu $(F)$ .

Być może, że własność ta daje się rozszerzyć na punkty rozbieżności, leżące na części (2) brzegu $(F)$ , dowodu na to jednak podać nie umiem. Dodaję jeszcze, że punkty zbieżności szeregu (1) leżące na brzegu $(F)$ nie posiadają powyższej własności; można łatwo podać przykład takiego szeregu (1), który jest zbieżny w jednym tylko punkcie, leżącym na brzegu $(F)$ , a rozbieżny we wszystkich innych punktach tego brzegu.