Supposons qu’il existe une correspondance biunivoque, bicontinue et directe (On dit qu’une correspondance biunivoque et bicontinue entre les points de deux domaines plans

D

Ω

est directe, lorsque deux contours fermés simples quelconques, situés respectivement dans ces deux plans et formés de points qui se correspondent mutuellement, sont parcourrus dans le même sens.) entre les points de deux domaines

D

Ω

, situés respectivement dans les plans des variables complexes

z

w

. Soit

w = f (z)

la fonction qui eﬀectue cette correspondance. M. Harald Bohr a démontré le théorème suivant:

existe et possède une valeur ﬁnie non nulle, la fonction $f (z)$ est holomorphe à l’intérieur du domaine $D$ (Harald Bohr, Mathematische Zeitschrift, t. 1, 1918, p. 403.).

On peut donner une généralisation de ce théorème. Nous introduirons à cet eﬀet la notation suivante:

Soit

t

un rayon rectiligne issu d’un point

z

et situé dans le plan du domaine

D

. Nous désignerons par

lorsque

h

tend vers zéro de façon que le point

z + h

reste toujours sur le rayon

t

Théorème. Les domaines $D, Ω$ et la fonction $f (z)$ ayant la même signiﬁcation que plus haut, supposons que chaque point z du domaine $D$ , sauf peut-être un ensemble ﬁni ou dênombrable, est l’extrémité de trois rayons rectilignes $t_{i}$ , $i = 1, 2, 3$ , situés sur trois droites diﬀérentes et tels que les trois limites

lim_{h \to 0} (t_{i}) | \frac{f (z + h) - f (z)}{h} |

existent et possèdent la même valeur ﬁnie (Cette valeur peut être égale à zéro.).

Dans ces conditions la fonction $f (z)$ est holomorphe à l’intérieur du domaine $D$ .

Dans l’énoncé de ce théorème le nombre „trois” de rayons

t_{i}

est minimum, comme le montre l’exemple suivant:

D. Menchoff (Moskwa), Sur la représentation conforme des domaines plans