Feliks Burdecki (Wągrowiec), Formuły Archimedesa na $π$

(Die Formeln des Archimedes für $π$ )

Wenn wir die Seite des gleichseitigen dem Kreise einbeschriebenen $m$ -Eckes durch $a_{m}$ bezeichnen und den Radius des Kreises gleich 1 nehmen, so erhalten wir

a_{2 m} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - a_{m}^{2}}}

(1)

Die Methode des Archimedes der Berechnung von $π$ beruht, wie bekannt, auf der iterativen Anwendung der Formel (1). Wenn wir mit $f (x)$ die Iteration der „i”-ten Ordnung von $f (x)$ bezeichnen, erhalten wir demnach

\begin{matrix} \begin{aligned} π & = lim_{n \to \infty} m . 2^{n - 1} f_{n} (a_{m}) \\ wo f (x) & = \sqrt{2 - \sqrt{4 - x^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

(2)

Im besonderen haben wir

\begin{matrix} \begin{aligned} für m = 4, π & = lim_{n \to \infty} 2^{n + 1} f_{n} (\sqrt{2}) \\ für m = 6, π & = 3 lim_{n \to \infty} 2^{n} f_{n} (1) \\ für m = 10, π & = 5 lim_{n \to \infty} 2^{n} f_{n} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \end{aligned} \end{matrix}

(3)

f (x) = \sqrt{2 - \sqrt{4 - x^{2}}} .

Feliks Burdecki (Wągrowiec), Formuły Archimedesa na π

Feliks Burdecki (Wągrowiec), Formuły Archimedesa na $π$