Stanisław Garlicki (Warszawa), O analogji asymptot hiperboli z płaszczyznami kołowemi stożków 2-go stopnia

1. Powszechnie znaną jest analogja własności ognisk stożkowej z własnościami prostych ogniskowych stożków 2-go stopnia. Analogja ta nie dziwi nikogo, gdyż tkwi ona już w samej deﬁnicji ogniska i prostej ogniskowej: ogniskiem stożkowej nazywamy punkt leżący w jej płaszczyźnie i mający tę własność, że każde dwie proste sprzężone przezeń przechodzące są wzajemnie prostopadłe; ogniskami są przeto punkty podwójne inwolucji, wyznaczonej na osi stożkowej przez pary prostych sprzężonych wzajemnie prostopadłych; – podobnież prostą ogniskową stożka 2-go stopnia nazywamy prostą wychodzącą z jego wierzchołka i mającą tę własność, że każde dwie płaszczyzny sprzężone przez nią przechodzące są wzajemnie prostopadłe; proste ogniskowe są to więc proste podwójne inwolucji, wyznaczonej na płaszczyźnie symetrji stożka przez pary płaszczyzn sprzężonych wzajemnie prostopadłych.

Otóż wiadomo, że istnieje dualistyczna korelacja pomiędzy własnościami prostych ogniskowych a własnościami płaszczyzn kołowych stożka 2-go stopnia. Jeżeli bowiem przekształcimy wiązkę prostokątnie-biegunowo t. j. każdej prostej podporządkujemy w tej wiązce płaszczyznę do niej prostopadłą, a każdej płaszczyźnie prostą do niej prostopadłą, to tworzące i płaszczyzny styczne stożka 2-go stopnia przekształcą się na płaszczyzny styczne i tworzące innego stożka 2-go stopnia o tym samym wierzchołku i tych samych osiach; każda zaś z prostych ogniskowych jednego stożka przekształci się na płaszczyznę kołową drugiego.

Zestawienie powyższych wywodów nasuwa następujące pytanie:

Skoro w układzie biegunowym wiązki istnieje korelacja własności płaszczyzn kołowych z własnościami prostych ogniskowych, – skoro te ostatnie własności są związane analogją z własnościami ognisk układu biegunowego płaskiego, – to czy istnieją w układzie biegunowym płaskim pewne proste o własnościach analogicznych z własnościami płaszczyzn kołowych w układzie biegunowym wiązki. Gdyby tak było, to między własnościami tych prostych a własnościami ognisk powinnaby w układzie biegunowym płaskim istnieć pewna korelacja analogiczna do korelacji między własnościami płaszczyzn kołowych a własnościami prostych ogniskowych układu biegunowego wiązki.

Proste takie rzeczywiście istnieją: są to asymptoty stożkowej; istnieje również pewna dualistyczna korelacja między własnościami asymptot hiperboli a własnościami ognisk stożkowej.

Analogję asymptot hiperboli z płaszczyznami kołowemi stożka 2-go stopnia zauważył Steiner (Crelle’s Journal Bd II. Str. 45–63 (1827); Ges. Werke Bd I str. 116–117.), oparłszy ją na następujących dwóch twierdzeniach:

1.: Płaszczyzny kołowe stożka wraz z którąkolwiek jego płaszczyzną styczną wyznaczają na spółśrodkowej ze stożkiem kuli trójkąt sferyczny, którego pole jest stałe (Asymptoty hiperboli wraz z którąkolwiek jej styczną zamykają trójkąt, którego pole jest stałe).
2.: Tworząca zetknięcia stożka z którąkolwiek jego płaszczyzną styczną jest dwusieczną kąta zawartego w tej płaszczyźnie między płaszczyznami kołowemi. (Punkt zetknięcia hiperboli z którąkolwiek jej styczną jest środkiem odcinka tej stycznej zawartego między asymptotami).

Na tej podstawie nie wahał się Steiner nazwać śladów płaszczyzn kołowych stożka na spółśrodkowej z nim kuli „sferycznemi asymptotami stożkowej sferycznej”. Przeciwko tak śmiałemu zestawieniu tych pozornie różnych utworów możnaby podnieść liczne zastrzeżenia: asymptota jest wszak styczna do stożkowej, – płaszczyzna kołowa jest zewnętrzna względem stożka; stożkowa ma dwie asymptoty, które mogą być obie urojone, – stożek ma sześć płaszczyzn kołowych, z których dwie są zawsze rzeczywiste.

Zastrzeżenia te ustaną wszakże, gdy sobie zdamy sprawę z tego, że stopień ogólności twierdzeń dotyczących stożka jest wyższy, niż twierdzeń dotyczących stożkowej, że, jak mówi Chasles, „geometrją płaska jest przypadkiem szczególnym geometrji sferycznej” (Aperçu str. 240.); analogji doskonałej między geometrją płaską a geometrją wiązki, tj. geometrji na kuli, możemy więc oczekiwać dopiero wtedy, gdy promień tej kuli stanie się nieskończony. Otóż jeżeli zrobimy takie założenie, to analogja asymptot hiperboli z płaszczyznami kołowemi stożka staje się doskonałą; jeżeli bowiem wierzchołek stożka oddala się do nieskończoności w kierunku tej jego osi, która jest przecięciem płaszczyzn kołowych, to stożek staje się walcem hiperbolicznym, a jego płaszczyzny kołowe płaszczyznami asymptotycznemi tego walca; w samej rzeczy, każde przecięcie walca hiperbolicznego płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny asymptotycznej jest stożkową złożoną z dwóch prostych, z których jedna jest niewłaściwą, – a więc jest zwyrodniałem kołem.

W przypadku, gdy wierzchołek stożka jest punktem właściwym, analogja asymptot hiperboli z płaszczyznami kołowemi stożka, podobnie zresztą jak analogja ognisk stożkowej z prostemi ogniskowemi stożka, musi być ułomną. Niemniej przeto ma ona dużą wartość, gdyż pozwala na mocy powszechnie znanych własności hiperboli odgadywać znacznie trudniejsze do okazania własności stożków 2-go stopnia.

Oprócz twierdzeń wskazanych przez Steiner a w cytowane] rozprawie warto przypomnieć kilka znanych własności płaszczyzn kołowych stożka, rażąco analogicznych z odpowiedniemi własnościami hiperboli:

3.: Iloczyn sinusów kątów dowolnej tworzącej stożka z jego płaszczyznami kołowemi jest stały (Iloczyn odległości dowolnego punktu hiperboli od jej asymptot jest stały).
4.: Na każdej wychodzącej z wierzchołka stożka płaszczyźnie siecznej kąty zawarte między stożkiem a jego płaszczyznami kołowemi są równe (Na każdej siecznej hiperboli odcinki zawarte między hiperbolą a jej asymptotami są równe).
5.: Rzut kąta dwóch stałych tworzących stożka z któregokolwiek punktu jego powierzchni na płaszczyznę kołową jest kątem stałej wielkości (Rzut stałej cięciwy hiperboli z któregokolwiek punktu hiperboli na jej asymptotę jest odcinkiem stałej długości).
6.: Dwie którekolwiek płaszczyzny styczne do stożka wycinają na jego płaszczyznach kołowych kąty, które przez płaszczyznę łączącą tworzące zetknięcia są podzielone na połowy (Dwie którekolwiek styczne do hiperboli wycinają na jej asymptotach odcinki, które przez prostą łączącą punkty zetknięcia są podzielone na połowy).

Do tych twierdzeń łatwo byłoby dorzucić jeszcze kilka innych mniej znanych; szczególnie jednak ważnem wydaje mi się następujące:

7.: Płaszczyzna styczna do stożka 2-g o stopnia przecina jego płaszczyzny kołowe według prostych, które wraz z prostemi ogniskowemi leżą na jednym stożku obrotowym; – płaszczyzny „wodzące” tworzącej zetknięcia są wraz z płaszczyznami kołowemi styczne do innego stożka obrotowego; oba stożki mają spólną oś obrotu, leżącą w zewnętrznej płaszczyźnie symetrji danego stożka (Styczna do hiperboli przecina jej asymptoty w punktach, które wraz z ogniskami leżą na jednem kole; – promienie wodzące punktu zetknięcia są wraz z asymptotami styczne do innego koła; – oba koła mają spólny środek leżący na osi zewnętrznej hiperboli).

Twierdzenie to wyraża związek między płaszczyznami kołowemi i prostemi ogniskowemi stożka 2-go stopnia i pozwala wykreślnie wyznaczyć jedne, gdy dane są drugie, jeżeli tylko dana jest nadto jakakolwiek tworząca stożka, albo jakakolwiek jej płaszczyzna styczna. Steiner wspomina o tem twierdzeniu, ale tylko w przypadku, gdy płaszczyzna jest styczna do stożka wzdłuż tworzącej największego rozwarcia, – dlatego też sądzę, że nie będzie zbytecznem podanie ogólnego dowodu tego twierdzenia.

Zauważmy najpierw, że wystarcza okazać pierwszą część twierdzenia. Jeżeli bowiem zastosujemy ją do stożka prostokątnie biegunowego z danym, to przez przekształcenie prostokątnie biegunowe otrzymamy dla danego stożka część drugą.

Niechaj $H_{1}$ , i $H_{2}$ będą płaszczyznami kołowemi stożka o wierzchołku $S$ , $f_{1}$ i $f_{2}$ jego prostemi ogniskowemi; $C$ jakąkolwiek jego płaszczyzną styczną; $m_{1}$ i $m_{2}$ , prostemi przecięcia płaszczyzny $C$ z płaszczyznami $H_{1}$ i $H_{2}$ , a prosta $u$ niechaj będzie tworzącą zetknięcia płaszczyzny $C$ z danym stożkiem. Na podstawie twierdzenia 2. tworząca $u$ jest dwusieczną kąta $(m_{1} m_{2})$ ; przez tworzącą $u$ poprowadźmy płaszczyznę $M$ prostopadłą do $C$ , a więc normalną do danego stożka wzdłuż tworzącej $u$ ; wyznaczmy wreszcie prostą przecięcia $s$ płaszczyzny $M$ z zewnętrzną płaszczyzną symetrji $Z$ . Jeżeli prostą $m_{1}$ obracać będziemy dokoła prostej $s$ , to utworzony przez ten obrót stożek przejdzie oczywiście przez prostą $m_{2}$ ; mamy okazać, że przejdzie on także przez obie proste ogniskowe $f_{1}$ i $f_{2}$ .

Na prostej s obierzmy sobie jakikolwiek punkt $S^{'}$ i poprowadźmy przezeń płaszczyznę $P$ prostopadłą do tej prostej; płaszczyznę tę obierzmy za płaszczyznę rysunku (Rys. 1). Ślad $z$ płaszczyzny $Z$ przechodzi oczywiście przez punkt $S^{'}$ i ślady $X$ i $Y$ osi zewnętrznych $x$ i $y$ jest to oś symetrji ﬁgury, złożonej ze śladu $h$ danego stożka, śladów $k_{1}$ i $k_{2}$ jego płaszczyzn kołowych $H_{1}$ i $H_{2}$ i śladów $F_{1}$ i $F_{2}$ jego prostych ogniskowych $f_{1}$ i $f_{2}$ . – Ponieważ płaszczyzna normalna $M$ jest prostopadła do płaszczyzny rysunku (gdyż przechodzi przez prostą $s$ do niej prostopadłą), więc $1^{\circ}$ ślad $n$ płaszczyzny $M$ jest prostopadły do śladu $t$ płaszczyzny stycznej $C$ i dzieli na połowy odcinek $M_{1} M_{2}$ zawarty między śladami prostych $m_{1}$ i $m_{2} 2$ , gdyż prosta $u$ , dwusieczna kąta $(m_{1} m_{2})$ , jest prostopadła do prostej $t$ ; $2^{\circ}$ ślad $n$ płaszczyzny $M$ , a więc i prostopadły do niego ślad $t$ płaszczyzny $C$ jest dwusieczną kąta $F_{1} U F_{2}$ , gdyż płaszczyzna $M$ , jako normalna, dzieli kąt dwuścienny $F_{1} u F_{2}$ na połowy. Z tych dwóch własności prostej $n$ wynika, że hiperbola $h_{1}$ wyznaczona przez asymptoty $k_{1}$ , $k_{2}$ i ogniska $F_{1}, F_{2},$ jest styczna do prostej $t$ w punkcie $U$ ; że zatem koło $k$ o środku $S^{'}$ , przechodzące przez punkty $M_{1}$ , przechodzi również przez punkty $F_{1}, F_{2}$ ; otóż koło $k$ jest śladem stożka obrotowego przechodzącego przez proste $m_{1}, m_{2}, f_{1}$ i $f_{2}$ , – co dowodzi twierdzenia.

2. Analogja między asymptotami hiperboli a płaszczyznami kołowemi stożka 2-go stopnia prowadzi do analogji między stożkowemi mającemi spólne asymptoty a stożkami mającemi spólny wierzchołek (spółśrodkowemi) i spólne płaszczyzny kołowe (spółkołowemi). Analogja ta pozostanie w mocy nawet wtedy, gdy spólne asymptoty stożkowych są urojone, t. j. gdy stożkowe są spółśrodkowemi je- dnokładnemi elipsami. (Dla krótkości nazywać będziemy „spółśrodkowemi jednokładnemi” każde dwie stożkowe o spólnych asymptotach rzeczywistych lub urojonych, a więc także dwie hiperbole przegrodzone przez spólne asymptoty, albo dwie hiperbole, z których jedna jest zwyrodniałą i składa się z asymptot drugiej).

Analogja stożkowych spółśrodkowych jednokładnych ze stożkami spółśrodkowemi spółkołowemi wyraża się przedewszystkiem w znanem twierdzeniu (wynikającem zresztą bezpośrednio z twierdzeń 2. i 4.):

8.: Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek pęku stożków spółkołowych przecina te stożki według kątów, które mają spólne dwusieczne; są to proste zetknięcia owej płaszczyzny z temi stożkami pęku, które przez nie przechodzą. (Prosta leżąca w płaszczyźnie pęku stożkowych spółśrodkowych jednokładnych wyznacza w tych stożkowych cięciwy, które mają spólny środek; jest to punkt zetknięcia owej prostej z tą stożkową pęku, która przezeń przechodzi).

Rzecz ciekawa, że elementarna deﬁnicja dwóch stożkowych spółśrodkowych jednokładnych, która ma zastosowanie w przypadku, gdy jedna z dwóch stożkowych leży wewnątrz drugiej, jest własnością, którą przez analogję można przenieść na stożki spółśrodkowe spółkołowe w przypadku analogicznym, t. j. gdy jeden z dwóch stożków leży wewnątrz drugiego:

9.: Jeżeli dwa stożki drugiego stopnia mają spólny wierzchołek i spólne płaszczyzny kołowe, ale nie mają spólnych rzeczywistych płaszczyzn stycznych (tak, że jeden z nich leży wewnątrz drugiego), to każda płaszczyzna sieczna, przechodząca przez którąkolwiek z trzech spólnych osi tych stożków, przecina je według tworzących, których kąty z tą osią zawarte mają stały stosunek sinusów. (Dwie spółśrodkowe stożkowe nazywamy jednokładnemi, jeżeli każda sieczna, przechodząca przez ich spólny środek, przecina je w punktach, których odległości od niego są w stałym stosunku).

Z punktu $S$ obranego na prostej przecięcia $y$ dwóch płaszczyzn $H_{1}$ i $H_{2}$ opiszmy kulę o dowolnym promieniu $r$ i przez dwa koła wycięte na tych płaszczyznach poprowadźmy którykolwiek z dwóch walców przez te koła wyznaczonych; będzie to walec eliptyczny, którego osią jest prostopadła z wystawiona w punkcie $S$ do jednej z dwóch płaszczyzn dwusiecznych dwuścianu $(H_{1} H_{2})$ . Opiszmy z punktu $S$ jeszcze dwie inne kule o promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ , obu większych, albo obu mniejszych od $r$ , w tym ostatnim przypadku większych jednak od małej półosi prostokątnego przecięcia walca. Każda z tych dwóch kul przecina walec według stożkowej sferycznej, która z punktem $S$ jako wierzchołkiem wyznacza stożek 2-go stopnia; powiadam, że płaszczyzny $H_{1}$ i $H_{2}$ są płaszczyznami kołowemi każdego z tych stożków. W samej rzeczy, jeżeli którykolwiek z tych stożków wraz z walcem i odpowiednią kulą przetniemy płaszczyzną równoległą do $H_{1}$ lub do $H_{2}$ , to otrzymamy w płaszczyźnie siecznej trzy stożkowe należące do jednego pęku; ponieważ dwie z nich: przecięcie walca i przecięcie kuli, są kołami, więc i trzecia stożkowa musi być kołem. Jeżeli $r_{1}$ i $r_{2}$ są oba większe od $r$ , to oś $z$ walca jest osią wewnętrzną obu stożków, jeżeli $r_{1}$ i $r_{2}$ są oba mniejsze od $r$ (ale większe od małej półosi prostokątnego przecięcia walca), to $z$ jest osią zewnętrzną podrzędną obu stożków; prosta $y$ , przecięcie płaszczyzn kołowych $H_{1}$ i $H_{2}$ jest w każdym przypadku osią zewnętrzną główną obu stożków.

Przez oś $z$ poprowadźmy jakąkolwiek płaszczyznę $M$ przecinającą oba stożki; tworzące stożków leżące w płaszczyźnie $M$ otrzymamy łącząc wierzchołek $S$ z punktami $T_{1}$ i $T_{2}$ (Rys. 2), według których jedna z leżących w tej płaszczyźnie tworzących walca, nap. $t$ przecina koła $k_{1}$ i $k_{2}$ należące do kul o promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ . Otóż sinusy kątów $μ_{1}$ i $μ_{2}$ , które oś $z$ czyni z tworzącemi $S T_{1}$ i $S T_{2}$ , są oczywiście odwrotnie proporcjonalne do promieni $r_{1}$ i $r_{2}$ , a więc stosunek tych sinusów $\frac{sin μ_{1}}{sin μ_{2}}$ ma wartość stałą $\frac{r_{2}}{r_{1}}$ .

Pozostaje rozważyć przypadek, gdy płaszczyzna sieczna $M$ przechodzi przez oś główną zewnętrzną obu stożków, tj. przez prostą przecięcia $y$ płaszczyzn $H_{1}$ i $H_{2}$ ; możemy przytem założyć, że $r_{2} > r_{1} > r$ .

Przecięcie walca taką płaszczyzną jest oczywiście elipsą o małej osi $r$ , a wielkiej osi $r_{2}$ (Rys. 3); przecięcie elipsy $l$ ze spółśrodkowemi z nią kołami $k_{1}$ i $k_{2}$ o promieniach $r_{1}$ i $r_{2}$ wyznacza tworzące $S T_{1}$ i $S T_{2}$ : których kąty z osią $y$ , jak łatwo się przekonać, mają również stały stosunek sinusów:

\frac{sin μ_{1}}{sin μ_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}} \sqrt{\frac{r_{1}^{2} - r^{2}}{r_{2}^{2} - r^{2}}} .

Tutaj odbiegnę nieco od tematu, aby sformułować twierdzenie wzajemne, dotyczące stożków spółogniskowych:

9a.: Płaszczyzny styczne do dwóch nieprzecinających się stożków spółogniskowych, wychodzące z dowolnego punktu którejkolwiek ich spólnej płaszczyzny symetrji, są do tej płaszczyzny nachylone pod kątami, których sinusy są w stałym stosunku (Styczne do dwóch nieprzecinających się spółogniskowych stożkowych, wychodzące z dowolnego punktu którejkolwiek ich spólnej osi, są do tej osi nachylone pod kątami, których sinusy są w stałym stosunku).

Z twierdzenia tego wynika bowiem ciekawy wniosek. Jeżeli przez tworzące zetknięcia płaszczyzn stycznych do obu spółogniskowych stożków poprowadzimy płaszczyzny normalne, to wszystkie te 4 płaszczyzny przejdą przez jedną prostą, leżącą w tej samej płaszczyźnie symetrji, co punkt, z którego wyprowadzono płaszczyzny styczne; będzie to mianowicie prosta, która wraz z tym punktem przegradza harmonicznie rzeczywiste lub urojone proste ogniskowe w tej płaszczyźnie symetrji położone. Powstają w ten sposób po każdej stronie obranej płaszczyzny symetrji dwa trójściany prostokątne o dwóch wspólnych krawędziach w tej płaszczyźnie leżących, a zatem o spólnym kącie płaskim $γ$ , leżącym naprzeciw dwuściennych kątów prostych tych trójścianów; trzecie krawędzie trójścianów są to tworzące zetknięcia płaszczyzn stycznych. Oznaczmy $α$ i $α_{1}$ kąty płaskie tych trójścianów leżące w płaszczyznach normalnych; $α^{'}$ i $α_{1}^{'}$ kąty dwuścienne przeciwległe, t. j. kąty płaszczyzn stycznych z ową płaszczyzną symetrji, wówczas

\begin{array}{l} sin α & = sin α^{'} sin γ, sin α_{1} = sin α_{1}^{'} sin γ, \\ \frac{sin α}{sin α_{1}} & = \frac{sin α^{'}}{sin α_{1}^{'}} = stałej, \end{array}

skąd wynika:

9b.: Odcinki normalne, spuszczone na dwa nieprzecinające się stożki spółogniskowe z dowolnego punktu którejkolwiek ich płaszczyzny symetrji (ale nie leżące w tej płaszczyźnie) są w stałym stosunku (Odcinki normalne, spuszczone na dwie nieprzecinające się stożkowe spółogniskowe z dowolnego punktu którejkolwiek ich osi (ale nie leżące na tej osi), są w stałym stosunku).

W rozprawie p. t. „Ueber algebraische Kurven und Flächen” dowodzi Steiner następujących twierdzeń o stożkowych spółśrodkowych jednokładnych (Crelle’s Journal Bd XLIX S. 355 (1854); Ges. Werke Bd II S. 628.):

(10).: Spodki normalnych, spuszczonych z dowolnego punktu P na stożkowe spółśrodkowe jednokładne, leżą wszystkie na hiperboli przechodzącej przez ten punkt, przez spolny środek wszystkich tych stożkowych i przez punkty niewłaściwe ich spólnych osi. – Nawzajem:
(11).: Każda hiperbola przechodząca przez spolny środek stożkowych spółśrodkowych jednokładnych i mająca asymptoty równoległe do ich spólnych osi, przecina te stożkowe w punktach, dla których normalne przechodzą wszystkie przez jeden punkt $P$ , który leży na tej hiperboli.

Ta t. zw. „hiperbola Steinera” rozwiązuje, jak wiadomo, zagadnienie normalnych dla poszczególnych stożkowych pęku i jest źródłem licznych wykreśleń środka krzywizny dla dowolnego punktu stożkowej. Zamierzam okazać dwa twierdzenia analogiczne, dotyczące pęku stożków spółkołowych i prowadzące do rozwiązania analogicznych zagadnień dla poszczególnych stożków pęku.

10.: Jeżeli przez prostą $p$ , wychodzącą z wierzchołka pęku stożków spółkołowych, poprowadzimy do poszczególnych stożków płaszczyzny normalne, to tworzące wzdłuż których te płaszczyzny są normalne, leżą wraz z osiami pęku i prostą p na jednym stożku 2-go stopnia. – Nawzajem:
11.: Każdy stożek 2-go stopnia, przechodzący przez trzy osie pęku stożków spółkołowych, przecina te stożki według takich tworzących, że płasczyzny normalne wzdłuż nich do poszczególnych stożków poprowadzone przechodzą wszystkie przez tę samą prostą $p$ stożka przechodzącego przez osie.

Wystarczy dowieść twierdzenie 10., jeżeli bowiem jest ono prawdziwe, to twierdzenie 11., jako odwrotne, łatwo z niego wynika.

Za płaszczyznę rysunku (Rys. 4) obieramy jakąkolwiek płaszczyznę równoległą do jednej z płaszczyzn kołowych pęku, nap. do $H_{1}$ . Z trzech osi pęku $x, y, z$ jedna, $y \equiv H_{1} H_{2}$ , jest oczywiście równoległa do płaszczyzny rysunku; dwie inne $z$ i $x$ niechaj przebijają płaszczyznę rysunku w punktach $Z$ i $X$ ; na odcinku $Z X$ dany jest nadto rzut prostokątny $S^{'}$ wierzchołka $S$ pęku; dany jest wreszcie gdziekolwiek na płaszczyźnie rysunku punkt $P$ – ślad danej prostej $p \equiv S P$ . Punkt $S^{'}$ wraz z punktami $Z$ i $X$ wyznacza wierzchołek $S$ ; – jeżeli bowiem na odcinku $Z X$ jako na średnicy opiszemy koło $m$ , to prostopadła wystawiona do $Z X$ w punkcie $S^{'}$ przecina koło $m$ w punkcie $S^{0}$ , który jest kładem wierzchołka $S$ dokoła prostej $Z X$ .

Przecięcie pęku stożków spółkołowych płaszczyzną rysunku, która jest równoległa do płaszczyzny kołowej $H_{1}$ , jest pękiem kół $(k)$ , oczywiście eliptycznym; pęk ten jest wyznaczony przez punkty $Z$ i $X$ , które są jego kołami zerowemi. Aby otrzymać poszczególne koła pęku $(k)$ , t. j. ślady poszczególnych spółkołowych stożków, należy z dowolnego punktu prostej $Z X$ zakreślić koło o promieniu średnim proporcjonalnym między odległościami tego punktu od $Z$ i $X$ ; gdy punkt obrany leży zewnątrz odcinka $Z X$ , będzie to koło prostokątne przecinające koło $m$ (lub jakiekolwiek inne koło przechodzące przez punkty $Z$ i $X$ ); jeżeli punkt obrany leży między punktami $Z$ i $X$ , będzie to koło urojone, którego rzeczywistem odwzorowaniem jest koło średnicowo przecięte przez koło $m$ (takiem jest nap. koło zakreślone z punktu $S^{'}$ promieniem $S^{'} S^{0}$ ).

Aby wyznaczyć ślad płaszczyzny normalnej poprowadzonej przez prostą $S P$ do któregokolwiek stożka pęku, postąpimy jak następuje: przez wierzchołek $S$ poprowadźmy płaszczyznę $Q$ prostopadłą do prostej $S P$ ; przez dowolny punkt $T_{1}$ śladu $q$ tej płaszczyzny i przez punkty $Z$ i $X$ poprowadźmy koło $l$ ; wyznaczmy na niem punkt $T_{2}$ średnicowo przeciwległy punktowi $T_{1}$ ; przez punkt $T_{2}$ poprowadźmy koło $k_{2}$ przecinające prostokątnie koło $l$ i mające środek na prostej $Z X$ ; będzie to oczywiście koło należące do pęku $(k)$ i styczne w punkcie $T_{2}$ do prostej $T_{1} T_{2}$ ; powiadam, że płaszczyzna normalna do stożka $S k_{2}$ wzdłuż tworzącej $S T_{2}$ przechodzi przez prostą $S P$ . W samej rzeczy, płaszczyzna taka musi łączyć tworzącą $S T_{2}$ z prostą $S T_{3}$ prostopadłą do płaszczyzny stycznej $S T_{1} T_{2}$ . Otóż trójścian $S (T_{1} T_{2} T_{3})$ jest trójprostokątny: krawędź $S T_{3}$ jest prostopadła do krawędzi $S T_{1}$ i $S T_{2}$ , te zaś są wzajemnie prostopadłe, gdyż odcinek $T_{1} T_{2}$ jest średnicą kuli przechodzącej przez punkt $S$ . Prosta $S T_{2}$ jest więc prostopadłą do płaszczyzny $S T_{3} T_{1}$ , tak że proste $S P, S T_{2}$ i $S T_{3}$ są odpowiednio prostopadłe do płaszczyzn $Q, S T_{3} T_{1}$ i $S T_{1} T_{2}$ ; ponieważ te płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą $S T_{1}$ , więc tamte proste leżą w jednej płaszczyźnie; innemi słowy, płaszczyzna normalna $S T_{2} T_{3}$ przechodzi przez prostą $S P$ .

Otóż, gdy punkt $T_{1}$ opisuje prostą $q$ , punkt $T_{2}$ opisuje pewną stożkową $h$ . W samej rzeczy, pęk $Z (T_{1})$ , który powłóczy prostą $Z T_{1}$ dokoła punktu $Z$ , jest równy pękowi $Z (T_{2})$ , a perspektywiczny z pękiem $X (T_{1})$ , ten zaś jest równy pękowi $X (T_{2})$ , tak że pęki $Z (T_{2})$ i $X (T_{2})$ są rzutowe. Stożkowa $h$ przez te dwa pęki wyznaczona przechodzi oczywiście przez wierzchołki pęków $Z$ i $X$ , t. j. przez ślady osi $z$ i $x$ ; łatwo się przekonać, że przechodzi ona również przez niewłaściwy ślad $Y_{2}$ trzeciej osi $y$ (wystarcza w tym celu przenieść punkt $T_{1}$ do przecięcia $Y_{1}$ prostych $Z X$ i $q$ ) i przez punkt $P$ (wystarczy rozważać ten stożek pęku, który przechodzi przez prostą $S P$ ). Ale stąd wynika, że stożek $S h$ przechodzi przez wszystkie proste $S T_{2}$ , przez trzy osie pęku $x, y, z$ i przez prostą $S P$ , c. b. d. o.

Zauważmy, że biegunowe punktu $T_{1}$ względem wszystkich kół pęku $(k)$ przechodzą przez punkt $T_{2}$ , gdyż przez ten punkt przechodzą biegunowe punktu $T_{1}$ względem dwóch kół tego pęku: względem koła $k_{1}$ przechodzącego przez punkt $k_{1}$ i względem koła $k_{2}$ przechodzącego przez punkt $T_{2}$ . Stąd wynika, że prosta $S T_{2}$ jest przecięciem płaszczyzny biegunowej prostej $S T_{1}$ względem któregokolwiek stożka pęku z płaszczyzną $S P T_{2}$ prostopadłą do prostej $S T t_{1}$ . Gdy więc mamy jeden którykolwiek stożek pęku, nap. $S k_{1}$ i płaszczyznę $Q$ , to obracając prostą $S T_{1}$ w płaszczyźnie $Q$ dokoła punktu $S$ , znajdziemy dowolną liczbę tworzących $S T_{2}$ stożka $S h$ . – Jeżeli zamiast płaszczyzny $Q$ poprowadzimy przez punkt $S$ inną płaszczyznę $Q^{'}$ , to otrzymamy inny stożek $S h^{'}$ przechodzący przez te same trzy osie $x, y, z$ ; przecięcie stożków $S h$ i $S h^{'}$ wyznaczy więc osie stożka $S k_{1}$ ; są to właśnie te same stożki, któremi zazwyczaj posługujemy się do tego celu (Patrz nap. podręczniki Greometrji wykreślnej Ch. W i en er a (t. II, str. 18 ﬀ), K. Rohna i Papperitza (t. III str. 164 ﬀ), W. Fiedlera (t. II, str. 327 ﬀ).).

Tworząca $S T_{2}$ stożka $S h$ ma inną jeszcze własność: jest to prosta biegunowa płaszczyzny $Q$ względem jednego ze stożków spółkołowych. W samej rzeczy, prostopadła spuszczona z punktu na prostą $q$ przecina prostą $Z X$ w pewnym punkcie $K_{2}^{'}$ w kole należącem do pęku $(k)$ , mającem ten punkt za środek, prosta $q$ będzie biegunową punktu $T_{2}$ , gdyż jest ona prostopadła do prostej $K_{2}^{'} T_{2}$ w takim punkcie $T ‘_{2}$ (leżącym na kole $l$ ), że $K_{2}^{'} T_{2} . K_{2}^{'} T_{2}^{'} = K_{2}^{'} Z . K_{2}^{'} X$ .

Twierdzenie 10. wyraża związek między pękiem stożków spółkołowych a jakąkolwiek prostą $p$ wychodzącą z jego wierzchołka; przy sposobności dowodu tego twierdzenia poznaliśmy jednak również związek między tym pękiem stożków a jakąkolwiek płaszczyzną $Q$ przechodzącą przez jego wierzchołek:

12.: Jeżeli pęk stożków spółkołowych przetniemy jakąkolwiek płaszczyzną $Q$ przechodzącą przez jego wierzchołek, i do każdego z przeciętych stożków wzdłuż tworzących jego przecięcia tą płaszczyzną poprowadzimy płaszczyzny styczne, to prostopadłe, poprowadzone w tych płaszczyznach do owych tworzących, oraz proste biegunowe płaszczyzny $Q$ względem wszystkich stożków pęku, leżą wszystkie na stożku 2-go stopnia, przechodzącym przez trzy osie pęku (Bieguny prostej jakiejkolwiek q względem stożkowych spółśrodkowych jednokładnych leżą na hiperboli, przechodzącej przez spólny środek tych stożkowych i mającej asymptoty równoległe do ich spólnych osi).

Z twierdzenia tego wynika ciekawy wniosek. Do każdej tworzącej $S T_{2}$ stożka $S h$ poprowadźmy przez wierzchołek $S$ płaszczyznę prostopadłą $S T_{2} T_{1}$ ; płaszczyzna ta przejdzie przez prostą $S T_{1}$ i będzie prostopadła do płaszczyzny $S T_{1} T_{2}$ ; będzie to więc płaszczyzna normalna do stożka $S k_{1}$ wzdłuż tworzącej $S T_{1}$ . Gdy prosta $S T_{2}$ opisuje stożek 2-go stopnia $S h$ przechodzący przez proste $x, y, z$ i $S P$ , płaszczyzna normalna $S T_{3} T_{1}$ powłóczy stożek prostokątnie biegunowy $S h_{1}$ styczny do płaszczyzn, które są do tamtych prostych prostopadłe. – a więc do $y z, z x, x y$ i $Q$ :

13.: Jeżeli pęk stożków spółkołowych przetniemy jakąkolwiek płaszczyzną $Q$ przechodzącą przez jego wierzchołek, to płaszczyzny normalne do przeciętych stożków wzdłuż tworzących przecięcia ich tą płaszczyzną powłóczą stożek 2-go stopnia styczny do trzech płaszczyzn symetrji pęku i do płaszczyzny $Q$ .

Analogiczne twierdzenie dla stożkowych spółśrodkowych jednokładnych brzmi:

(Jeżeli pęk stożkowych spółśrodkowych jednokładnych przetniemy jakąkolwiek prostą, to normalne do przeciętych stożkowych w punktach ich przecięcia tą prostą powłóczą parabolę styczną do obu osi pęku i do danej prostej).

Parabola ta nie jest bynajmniej identyczną z t. zw. parabolą Steinera (Ges. Werke, Bd II, S. 629.), choć równie dobrze nadaje się do rozwiązania zagadnienia normalnych do stożkowej i do wyznaczania środka krzywizny w dowolnym punkcie danej stożkowej.

Przez przekształcenie prostokątnie-biegunowe twierdzeń 12. i 13. otrzymamy następujące dwa twierdzenia dotyczące stożków spółogniskowych:

14.: Jeżeli przez prostą $p$ wychodzącą z wierzchołka stożków spółogniskowych poprowadzimy do nich płaszczyzny styczne, to płaszczyzny normalne do tych stożków poprowadzone wzdłuż tworzących zetknięcia oraz płaszczyzny biegunowe prostej $p$ względem wszystkich tych stożków, powłóczą stożek 2-go stopnia styczny do trzech spólnych płaszczyzn symetrji tych stożków (Jeżeli z punktu $P$ leżącego w płaszczyźnie stożkowych spółogniskowych poprowadzimy do nich styczne, to normalne w punktach zetknięcia oraz biegunowe punktu $P$ względem wszystkich tych stożkowych powłóczą parabolę styczną do spólnych osi tych stożkowych).
15.: Jeżeli przez prostą $p$ wychodzącą z wierzchołka stożków spółogniskowych poprowadzimy do nich płaszczyzny styczne i w każdej z tych płaszczyzn do tworzącej zetknięcia poprowadzimy prostą prostopadłą, to wszystkie te prostopadłe leżą na stożku 2-go stopnia przechodzącym przez spólne osie tych stożków i przez prostą $p$ .

Warszawa, wrzesień 1927