Alfred Rosenblatt (Kraków), O utworach trzechwymiarowych, których przestrzenie styczne spełniają pewne warunki różniczkowe

1. Envisageons une variété $W_3$ à trois dimensions donnée dans un espace linéaire $S_{r+1}$ à $r+1$ dimensions paramétriquement par les équations

Envisageons la matrice M des dérivées partielles

à $r+1$ colonnes et à 3 lignes et désignons par $X_{ijk}$ le mineur d’ordre 3 appartenant aux colonnes $i,j,k$. Supposons qu’il y ait entre ces mineurs un certain nombre $\delta$

de relations linéaires indépendantes

Les plans $T_3$ tangents à la $W_3$ coupent l’espace ${\bar{S}}_r$ à l’infini en des plans ${\bar{S}}_2$ qui forment un système $\overline{W}$ et qui appartiennent à $\delta$ complexes linéaires indépendants. Parmi ces complexes il y a au moins un complexe spécial, c’est à dire il y a à l’infini un espace linéaire ${\bar{S}}_{r-3}$ auquel s’appuient tous les plans ${\bar{S}}_2$.

Envisageons maintenant une variété $V_3$ algébrique, possédant $r+1=p_g-p_a$ intégrales de $1^{\text{re}}$ espèce de M. Picard. Soit $Pg$ le genre géométrique de cette variété et supposons l’inégalité remplie

Envisageons la variété $W_3$ donnée par les équations (1) où les u, sont les intégrales de M. Picard. Si l’inégalité (5) est remplie, on a l’inégalité (3), donc il existe au moins un complexe linéaire ${\bar{S}}_{r-3}$ spécial et alors la variété $V_3$ possède ou une congruence irrégulière $\left\{c\right\}$ de courbes ou un faisceau $\left\{F\right\}$ irrationnel de surfaces algébriques.

2. Dans une série de Notes des Comptes Rendus (1924–1926) j’ai fait l’étude complète du cas, où la $V_3$ possède des faisceaux irrationnels de surfaces de genre $\le 2$ ainsi que du cas où il n’y a pas de tels faisceaux et où dans (5) il y a le signe $<$. Il reste donc à étudier le cas de l’égalité et où la variété $V_3$ ne possède pas de tels faisceaux.

J’ai résolu la question dans le cas, où le système $W$ de plans ${\bar{S}}_2$ à l’infini est de dimension 1 ou 2. Notamment je peux énoncer le théorème suivant:

Si il y a ${\infty }^2$ hyperplans tangents il y a 1) une congruence d’irrégularité $r$ et un faisceau elliptique 2) ou une congruence d’irrégularité $r+1$, 3) ou une congruence d’irrégularité $r-1$ et une autre congruence d’irrégularité $>2$.

La démonstration du théorème sera donnée ailleurs.

Streszczenie. Zagadnienie badania powierzchni algebraicznych i kongruencyj krzywych algebraicznych na utworach algebraicznych trzechwymiarowych sprowadza się do ogólniejszego badania ogólnych utworów trzechwymiarowych i przestrzeni $S_3$ stycznych do tych utworów. Badania te zapoczątkowane przez Segre’go, a kontynuowane przez Terracini’ego, kontynuuję ze szczególnem uwzględnieniem zastosowania do wyżej wymienionego zagadnienia.