Władysław Ślebodziński (Poznań), O nadpowierzchniach czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej

Niechaj będzie dana forma dodatnia

d s^{2} = \sum_{i k = 1}^{3} a_{i k} d x_{i} d x_{k}

(F)

określająca metrykę pewnej rozciągłości riemannowskiej $(V_{3}$ ). Wiadomo, iż – w ogólności – nie istnieje nadpowierzchnia przedstawiająca $(V_{3})$ w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej.

1) Jeżeli krzywizny główne $ω_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ rozciągłości $(V_{3})$ są wszystkie różne od zera, zagadnienie posiada rozwiązanie wtedy, i tylko wtedy, gdy są spełnione następujące warunki:

\begin{array}{l} ω_{1} ω_{2} ω_{3} > 0, \\ \frac{\partial ρ_{i}}{\partial s_{k}} = γ_{i k i} (ρ_{i} - ρ_{k}) (i, k = 1, 2, 3, i \neq k), \\ γ_{123} (ρ_{1} - ρ_{2}) = γ_{321} (ρ_{2} - ρ_{3}) = γ_{312} (γ_{3} - γ_{1}), \end{array}

w których przyjęliśmy

ρ_{i} = \frac{\sqrt{ω_{1} ω_{2} ω_{3}}}{ω_{i}};

we wzorach powyższych symbole $y_{h i j}$ oznaczają spółczynniki obrotu Ricci’ego dla trójścianu głównego rozciągłości $(V_{3})$ , a symbole $\frac{\partial}{\partial s_{k}}$ pochodne względem łuków krzywych głównych.

2) Jeżeli jedna z krzywizn głównych $ω$ , jest równa zeru, zagadnienie nie posiada rozwiązania.

3) Jeżeli dwie krzywizny główne np. $ω_{1}$ i $ω_{2}$ są równe zeru, należy odróżnić dwa przypadki:

a) Jeżeli kangruencja główna odpowiadająca krzywiźnie $ω_{2}$ rozciągłości $(V_{3})$ jest normalna, to forma (F) powinna być równoważna formie

\begin{array}{l} {(A_{1} x_{3} + B_{1})}^{2} d x_{1}^{2} \\ + {(A_{2} x_{3} + B_{2})}^{2} d x_{2}^{2} + d x_{3}^{2}, \end{array}

w której funkcje $A_{i}, B_{i}$ zmiennych $x_{1}, x_{2}$ powinny być tak dobrane, ażeby były spełnione warunki: $1^{\circ} .$ forma $A_{1}^{2} d x_{1}^{2} + A_{2}^{2} d x_{2}^{2}$ ma być, odniesionym do krzywiznowych, elementem linjowym powierzchni w przestrzeni o krzywiźnie $+ 1$ , $2^{\circ} .$ muszą być spełnione równości

\begin{array}{l} \frac{1}{B_{2}} \frac{\partial B_{1}}{\partial x_{2}} & = \frac{1}{A_{1}} \frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}, \\ \frac{1}{B_{1}} \frac{\partial B_{2}}{\partial x_{1}} & = \frac{1}{A_{1}} \frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} . \end{array}

b) Jeżeli kongruencja główna odpowiadająca krzywiźnie $ω_{2}$ nie jest normalna, warunki rozwiązalności zagadnienia sprowadzają się do następujących równości

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial s_{1}} (\frac{γ_{313} ω_{3}}{γ_{231}}) = \frac{2 γ_{212} γ_{312}}{γ_{213}} ω_{3}, \\ \frac{\partial}{\partial s_{2}} (\frac{γ_{231} ω_{3}}{γ_{312}}) = \frac{2 γ_{121} γ_{321}}{γ_{123}} ω_{3}, \\ γ_{123} γ_{231} + γ_{231} γ_{312} + γ_{312} γ_{123} = 0 . \end{array}