Alfred Rosenblatt (Kraków), Twierdzenie Kutty i Żukowskiego w aerodynamice

(Sur le théorème de l’aërodynamique de Joukowski et Kutta)

1. Nous envisageons le mouvement bidimensionnel d’un ﬂuide parfait irrotationnel autour d’un corps $K$ de contour $F$ plongé dans ce ﬂuide. Soit $W = φ + i ψ$ la fonction analytique dont la dérivée $\frac{d W}{d z} = w = u - i v$ donne le vecteur conjugué du vecteur vitesse.

Le ﬂuide satisfait à l’équation de Bernouilli

ρ^{2} (u^{2} + v^{2}) + p = const.,

(1)

la constante étant la même dans tout le ﬂuide.

Si $P_{x}$ et $P_{y}$ dénotent les composantes de la résultante des pressions exercées sur le corps $K$ , on a la formule de Kutta–Joukowski

P_{x} + i P_{y} = i ρ C (u_{\infty} + i v_{\infty}),

(2)

$u_{\infty}, v_{\infty}$ étant les composantes de la vitesse du ﬂuide à l’inﬁni et $C$ la circulation

C = \int_{F} u d x + v d y,

(3)

dans le sens contraire du mouvement de l’aiguille d’une montre.

M. Cisotti („Una notevole eccezione del teorema di Kutta–Joukowski” Rendiconti dei Lincei 1927.) a donné un exemple, où la formule (2) est en défaut en envisageant une lame plane inclinée d’un angle $β$ sur la direction du mouvement du ﬂuide. Dans ce cas on a la formule exacte

P_{x} + i P_{y} = e^{i (\frac{π}{2} + β)} cos β ρ C (u_{\infty} + i v_{\infty}) .

(4)

J’ai donné („Sur le théorème de Kutta–Joukowski“, ibid. 1927.) la raison de cette divergeance, en montrant l’inﬂuence des points angulaires d’angle $2 π$ du contour sur la valeur de la résultante des pressions. Dans ces points la fonction $w^{2}$ a en général un résidu $A$ , c’est à dire elle est de la forme

\begin{matrix} \begin{aligned} w^{2} & = \frac{A}{z - z_{0}} [1 + fonction continue \\ s’annullant pour z = z_{0}] . \end{aligned} \end{matrix}

(5)

(M. Lichtenstein a montré cette formule dans le cas des courbes analytiques: „Ueber die konforme Abbildung ebener analytischer Gebilde mit Ecken“. Journal für die reine und angewandte Mathematik T. 140.)

La formule (2) doit être remplacée par la formule suivante

\begin{matrix} \begin{aligned} P_{x} + i P_{y} & = i ρ C (u_{\infty} + i v_{\infty}) \\ + ρ π \sum \bar{{R e s}_{P}} (w^{2}), \end{aligned} \end{matrix}

(6)

où la somme est étendue à tous les résidus des points $P$ d’angle $2 π$ , le trait dénotant que l’on doit prendre la valeur conjuguée complexe.

2. Comme exemple j’envisage le cas d’une lame circulaire ayant la forme d’un arc $A B$ de cercle d’angle $2 α$ , de rayon $a$ . Supposons que $β$ soit l’angle de la vitesse du ﬂuide à l’inﬁni avec la droite $A B$ . La formule

z = - i ξ \frac{ξ sin \frac{α}{2} - a}{ξ - a sin \frac{α}{2}}

(7)

eﬀectue la représentation conforme de l’arc sur le cercle de rayon a du plan $ξ$ . On trouve la formule

\begin{matrix} \begin{aligned} P_{x} & + i P_{y} = ρ π {2 i C V e^{i β} + \frac{a sin α}{8} [e^{i α} (2 V sin (\frac{α}{2} - β) \\ - \frac{C}{a sin α 2})^{2} - e^{- i α} {(2 V sin (\frac{α}{2} + β) - \frac{C}{a sin α 2})}^{2}]} . \end{aligned} \end{matrix}

(8)

où $V$ est la valeur absolue de la vitesse et où l’axe des $y$ positifs est dirigé vers le centre de l’arc $A B$ .

Streszczenie. W Nocie ogłoszonej w r. b. w Rendiconti della R. Accademia dei Lincei uzupełniłem wzór na wypadkową ciśnień działających w doskonałej dwuwymiarowej niewirowej cieczy na proﬁl zanurzony, uważając wyrazy pochodzące od residuów funkcji analitycznej należącej do proﬁlu, tłómacząc sprzeczność z twierdzeniem Kutty i Żukowskiego rezultatu, który dla proﬁlu laminarnego płaskiego otrzymał p. Cisotti.

Obecnie zajmuję się pewnymi proﬁlami, dla których występują owe residua i obliczam ciśnienia. Obliczam również momenty, dla których dotychczasowy wzór należy również uzupełnić rozważaniem residuów.